Akar-akar polinomial x4 - 8x3 + px2 + x +

Berikut ini adalah pertanyaan dari yeniirawan982 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Akar-akar polinomial x4 - 8x3 + px2 + x + r = 0 membentuk deret aritmetika dengan beda -2. Tentukan nilai p, q, dan r.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari p, q, dan r adalah 14, 8, dan -15.

PEMBAHASAN

Polinom atau suku banyak merupakan suatu sistem persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya lebih besar dari 2. Bentuk umum suku banyak adalah

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0$

Suku banyak berderajat n memiliki n buah akar rasional.

Untuk suku banyak berderajat empat memiliki 4 akar rasional x₁, x₂, x₃ dan x₄. Sesuai Teorema Vieta, penjumlahan dan perkalian akar akarnya dapat dilihat pada rumus di bawah ini.

$\displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a} }$

$\displaystyle{x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{c}{a} }$

$\displaystyle{x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{d}{a} }$

$\displaystyle{x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a} }$

DIKETAHUI

Polinomial $x^4-8x^3+px^2+qx+r=0$ akar akarnya membentuk deret aritmatika dengan b = -2.

DITANYA

Tentukan nilai p, q, dan r.

PENYELESAIAN

Misal akar akarnya = x₁, x₂, x₃ dan x₄, Karena membentuk deret aritmatika, maka :

x₂ = x₁ - 2.

x₃ = x₁ - 4

x₄ = x₁ - 6.

Kita gunakan teorema vietta.

$x^4-8x^3+px^2+qx+r=0\left\{\begin{matrix}a=1\\ b=-8\\ c=p\\ d=q\\ e=r\end{matrix}\right.$

$\displaystyle{x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a} }$

$\displaystyle{x_1+x_1-2+x_1-4+x_1-6=-\frac{-8}{1} }$

$\displaystyle{4x_1-12=8 }$

$\displaystyle{4x_1=20 }$

$\displaystyle{x_1=5 }$

Kita peroleh :

x₁ = 5

x₂ = 5 - 2 = 3.

x₃ = 5 - 4 = 1.

x₄ = 5 - 6 = -1.

$\displaystyle{x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{c}{a} }$

$\displaystyle{5(3)+5(1)+5(-1)+3(1)+3(-1)+1(-1)=\frac{p}{1} }$

$p=14$

$\displaystyle{x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{d}{a} }$

$\displaystyle{5(3)(1)+5(3)(-1)+5(1)(-1)+3(1)(-1)=-\frac{q}{1} }$

$-q=-8$

$q=8$

$\displaystyle{x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a} }$

$\displaystyle{5(3)(1)(-1)=\frac{r}{1} }$

$r=-15$

KESIMPULAN

Nilai dari p, q, dan r adalah 14, 8, dan -15.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Teorema vietta : yomemimo.com/tugas/29401117
Akar akar persamaan polinom : yomemimo.com/tugas/29315695
Hasil bagi dan sisa bagi : yomemimo.com/tugas/29236864

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Suku Banyak

Kode Kategorisasi: 11.2.11

Kata Kunci : suku, banyak, polinom, teorema, vieta, akar.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 11 Jun 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah