Jika [tex]\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-b )(\sqrt{3+x}+a )}{1-x} =1[/tex] dengan [tex]a\

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika $\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-b )(\sqrt{3+x}+a )}{1-x} =1$ dengan $a\ \textgreater \ 1$ , maka hasil transformasi parabola dengan titik puncak (2,0) dan melalui titik (0,4) oleh dilatasi dengan faktor skala $a$ dan pusat $(b,b)$ adalah ...A. y = x²-2 B. y = x²/2-2x C. y = x²-2x+1 D. y = x²-4x+4

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil transformasi parabola tersebut adalah y = x²/2 – 2x.

Pembahasan

Limit dan Transformasi

Evaluasi Limit

Bentuk limit pada pertanyaan adalah bentuk tak tentu.

Perhatikan bahwa pembagi adalah $(1-x)$ . Koefisien x adalah –1. Pada pembilang, koefisien x yang sama (di dalam bentuk akar) terdapat pada $\left(\sqrt{5-x}-b\right)$ . Oleh karena itu, kita kalikan dengan bentuk konjugatnya (bentuk sekawannya), agar nantinya $(1-x)$ dapat habis membagi pembilang.

$\begin{aligned}1&=\lim_{x\to1}\frac{\left(\sqrt{5-x}-b\right)\left(\sqrt{5-x}+b\right)\left(\sqrt{3+x}+a\right)}{(1-x)\left(\sqrt{5-x}+b\right)}\\&=\lim_{x\to1}\frac{\left(5-x-b^2\right)\left(\sqrt{3+x}+a\right)}{(1-x)\left(\sqrt{5-x}+b\right)}\\\end{aligned}$

Agar pembagi habis membagi pembilang, ambil $b=2$ .

$\begin{aligned}1&=\lim_{x\to1}\frac{\left(5-x-2^2\right)\left(\sqrt{3+x}+a\right)}{(1-x)\left(\sqrt{5-x}+2\right)}\\&=\lim_{x\to1}\frac{\cancel{\left(1-x\right)}\left(\sqrt{3+x}+a\right)}{\cancel{\left(1-x\right)}\left(\sqrt{5-x}+2\right)}\\&=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3+x}+a}{\sqrt{5-x}+2}\end{aligned}$

Lalu, substitusi $x$ dengan 1.

$\begin{aligned}1&=\frac{\sqrt{3+1}+a}{\sqrt{5-1}+2}\\&=\frac{\sqrt{4}+a}{\sqrt{4}+2}\\1&=\frac{2+a}{4}\\\Rightarrow\ 4&=2+a\ \Rightarrow\ a=\bf2\end{aligned}$

Dengan demikian diperoleh:
∴ a = 2, b = 2.

Menentukan Hasil Transformasi

Dari hasil di atas, dapat ditentukan bahwa transformasi yang akan diterapkan adalah dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (2, 2).

$\implies M=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\,,\ a=2\,,\ b=2$

Cara I: transformasi titik, lalu tentukan fungsi

Titik puncak parabola: (2, 0)
$\implies x=2\,,\ y=0$
Hasil transformasi:
$\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=M\cdot\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2-2\\0-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\bf2\\\bf-2\end{pmatrix}\end{aligned}$
Titik puncak parabola hasil transformasi adalah (2, –2).

Titik yang dilalui: (0, 4)
Hasil transformasi:
$\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=M\cdot\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0-2\\4-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\bf{-}2\\\bf6\end{pmatrix}\end{aligned}$
Titik yang dilalui parabola hasil transformasi adalah (–2, 6).

Fungsi kuadrat dengan titik puncak (2, –2) dan melalui (–2, 6) dapat ditentukan sebagai berikut.

$\begin{aligned}y&=a(x-x_p)^2+y_p\\&=a(x-2)^2+(-2)\\y&=a(x-2)^2-2\quad...(i)\\\\&(x,y)=(-2,6)\\\Rightarrow 6&=a(-2-2)^2-2\\&=a(-4)^2-2\\&=16a-2\\16a&=8\ \Rightarrow\ a=\frac{1}{2}\quad...(ii)\\\\(ii)&\to(i)\\\Rightarrow y&=\frac{1}{2}(x-2)^2-2\\&=\frac{1}{2}\left(x^2-4x+4\right)-2\\\\\therefore\ \ &\boxed{\ y=\bf\frac{x^2}{2}-2x\ }\end{aligned}$

Cara II: tentukan fungsi awal, lalu transformasi

Fungsi kuadrat dengan titik puncak (2, 0) dan melalui (0, 4) dapat ditentukan sebagai berikut.

$\begin{aligned}y&=a(x-x_p)^2+y_p\\&=a(x-2)^2+0\\y&=a(x-2)^2\quad...(i)\\\\&(x,y)=(0,4)\\\Rightarrow 4&=a(0-2)^2\\&=a(-2)^2\\&=4a\\\Rightarrow\ a&=1\quad...(ii)\\\\(ii)&\to(i)\\\Rightarrow y&=(1)(x-2)^2\\\\\therefore\ \ &y=(x-2)^2\end{aligned}$

Transformasi titik-titik $(x,\,y)$ memberikan:

$\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=M\cdot\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-2\\y-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2x-4\\2y-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\bf2x-2\\\bf2y-2\end{pmatrix}\\\\\therefore\ x'&=2x-2\,,\ y'=2y-2\end{aligned}$

Dari hasil tersebut, kita tentukan $x$ dan $y$ .

$\begin{aligned}\bullet\ &x'=2x-2\ \Rightarrow\ x=\frac{x'+2}{2}\\\bullet\ &y'=2y-2\ \Rightarrow\ y=\frac{y'+2}{2}\\\end{aligned}$

Substitusi $x$ dan $y$ ke fungsi kuadrat awal.

$\begin{aligned}y&=(x-2)^2\\\frac{y'+2}{2}&=\left(\frac{x'+2}{2}-2\right)^2\\&=\left(\frac{x'+2-4}{2}\right)^2\\&=\left(\frac{x'-2}{2}\right)^2\\\frac{y'+2}{2}&=\frac{(x'-2)^2}{4}\\y'+2&=\frac{(x'-2)^2}{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\Rightarrow\ y'&=\frac{(x'-2)^2}{2}-2\\&=\frac{(x'-2)^2-4}{2}\\&=\frac{(x')^2-4x'}{2}\\y'&=\frac{(x')^2}{2}-2x'\\\\\therefore\ \ &\boxed{\ y=\bf\frac{x^2}{2}-2x\ }\end{aligned}$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 25 Jul 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah