1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

hasil dari integral (e^x+1)/(e^x-2) dx​

Berikut ini adalah pertanyaan dari guest666 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Hasil dari integral (e^x+1)/(e^x-2) dx​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}\int\frac{e^x+1}{e^x-2}\,dx=\boxed{\,\frac{1}{2}\bigl(3\ln\left|e^x-2\right|-x\bigr)+C\,}\end{aligned}
Hasil integral tersebut diperoleh dengan menggunakan integral substitusi.

Jika (x+1) dan (x-2) pada soal ternyata adalah pangkat dari masing-masing e pada pembilang dan penyebut, maka jawabannya adalah:
\begin{aligned}\int \frac{e^{x+1}}{e^{x-2}}\,dx=\boxed{\,e^3x+C\,}\end{aligned}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Jika yang dimaksud pada soal adalah

\displaystyle\int\frac{e^x+1}{e^x-2}\,dx

maka penyelesaiannya adalah seperti berikut ini.

\begin{aligned}&\int\frac{e^x+1}{e^x-2}\,dx\\&{=\ }\int\frac{e^x-2+3}{e^x-2}\,dx\\&{=\ }\int\left(\frac{\cancel{e^x-2}}{\cancel{e^x-2}}+\frac{3}{e^x-2}\right)dx\\&{=\ }\int\left(1+\frac{3}{e^x-2}\right)dx\\&{=\ }\int1\,dx+\int\frac{3}{e^x-2}\,dx\\&{=\ }x+3\int\frac{1}{e^x-2}\,dx\\&\quad\textsf{Ambil $u=e^x-2\ \Rightarrow e^x=u+2$}.\\&\quad\Rightarrow \frac{du}{dx}=e^x\\&\quad\Rightarrow dx=\frac{1}{e^x}\,du=\frac{1}{u+2}\,du\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }x+3\int\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{u+2}\,du\\&{=\ }x+3\int\frac{1}{2u+u^2}\,du\\&{=\ }x+3\int\frac{1}{u^2\left(\frac{2}{u}+1\right)}\,du\\&\quad\textsf{Ambil $v=\frac{2}{u}+1=2u^{-1}+1$}.\\&\quad\Rightarrow \frac{dv}{du}=-2u^{-2}\\&\quad\Rightarrow du=\frac{1}{-2u^{-2}}\,dv=-\frac{1}{2}u^2\,dv\\&{=\ }x+3\int\frac{1}{u^2\cdot v}\left(-\frac{1}{2}u^2\,dv\right)\\&{=\ }x+3\left(-\frac{1}{2}\right)\int\frac{\cancel{u^2}}{\cancel{u^2}\cdot v}\,dv\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }x-\frac{3}{2}\int\frac{1}{v}\,dv\\&{=\ }x-\frac{3}{2}\ln(v)\\&\quad\textsf{Substitusi kembali $v\leftarrow \frac{2}{u}+1$}.\\&{=\ }x-\frac{3}{2}\ln\left(\frac{2}{u}+1\right)\\&\quad\textsf{Substitusi kembali $u\leftarrow e^x-2$}.\\&{=\ }x-\frac{3}{2}\ln\left(\frac{2}{e^x-2}+1\right)\\&{=\ }x-\frac{3}{2}\ln\left(\frac{2+e^x-2}{e^x-2}\right)\\&{=\ }x-\frac{3}{2}\ln\left(\frac{e^x}{e^x-2}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&{=\ }x-\frac{3}{2}\left[\ln\left(e^x\right)-\ln\left(e^x-2\right)\right]\\\vphantom{\bigg|}&{=\ }x-\frac{3}{2}\left[x-\ln\left(e^x-2\right)\right]\\\vphantom{\bigg|}&{=\ }x-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\ln\left(e^x-2\right)\\\vphantom{\bigg|}&{=\ }\frac{3}{2}\ln\left(e^x-2\right)-\frac{x}{2}\\&\quad\textsf{Terapkan nilai mutlak untuk $\ln$,}\\&\quad\textsf{dan tambahkan konstanta untuk}\\&\quad\textsf{hasil akhir integral}.\\\end{aligned}
\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&{=\ }\frac{3}{2}\ln\left|e^x-2\right|-\frac{x}{2}+C\\\vphantom{\bigg|}&{=\ }\boxed{\,\frac{1}{2}\bigl(3\ln\left|e^x-2\right|-x\bigr)+C\,}\\\end{aligned}
\blacksquare

Jika yang dimaksud pada soal adalah

\displaystyle \int \frac{e^{x+1}}{e^{x-2}}\,dx

maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

\begin{aligned}\int \frac{e^{x+1}}{e^{x-2}}\,dx&=\int e^{x+1-(x-2)}\,dx\\&=\int e^{3}\,dx\\\therefore\ \int \frac{e^{x+1}}{e^{x-2}}\,dx&=\boxed{\,e^3x+C\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 08 Feb 23
<< Previous Post
Next Post >>