1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Nilai maksimum dari [tex]\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}[/tex] dengan x, y, z ∈ [0,2021]

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Nilai maksimum dari \sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|} dengan x, y, z ∈ [0,2021] adalah ...A. \sqrt{6063}
B. 2\sqrt{2021}
C. \sqrt{4042}+\sqrt{2021}
D. 2\sqrt{2021}+\sqrt{4042}
E. 2021\sqrt{2}+2021

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai maksimumdari\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|} adalah:
\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,\bf\sqrt{4042}+\sqrt{2021}\,}\end{aligned}$}
(opsi C)
 

Pembahasan

Kita akan menentukan nilai maksimum dari

\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}

dengan x,y,z\in\left [\,0,2021\, \right ]

Kita dapat mengasumsikan 0 \le x \le y \le z \le 2021.

Karena |x-y| = y-x, |y-z|=z-y, dan jelas |z-x| = z-x, maka \sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}ekuivalen dengan\sqrt{y-x}+\sqrt{z-y}+\sqrt{z-x}.

Misalkan M = \sqrt{y-x}+\sqrt{z-y}+\sqrt{z-x}.

Ketaksamaan AM-QMdengan 2 dataadanb memberikan:

\begin{aligned}AM\ &\le\ QM\\\frac{a+b}{2}\ &\le\ \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\\a+b\ &\le\ 2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\\\Rightarrow a+b\ &\le\ \sqrt{2(a^2+b^2)}\\\end{aligned}

Ambil a = \sqrt{y-x}danb=\sqrt{z-y}. Maka,

\begin{aligned}\sqrt{y-x}+\sqrt{z-y}\ &\le\ \sqrt{2\left[(y-x)+(z-y)\right]}\\\Rightarrow\sqrt{y-x}+\sqrt{z-y}\ &\le\ \sqrt{2\left(z-x\right)}\quad...(1)\end{aligned}

Substitusikan (1)ke dalamM.

\begin{aligned}M&=\sqrt{y-x}+\sqrt{z-y}+\sqrt{z-x}\\\Rightarrow M&\le\ \sqrt{2\left(z-x\right)} +\sqrt{z-x}\\\Rightarrow M&\le\ \left(\sqrt{2}+1\right)\sqrt{z-x}\\\end{aligned}

M akan maksimum, atau dengan kata lain tanda ketaksamaan menjadi kesamaan, jika zmaksimum danx minimum. Oleh karena itu, ambil z=\bf2021danx=\bf0.

\begin{aligned}M&=\left(\sqrt{2}+1\right)\sqrt{2021}\\\therefore\ M&=\bf\sqrt{4042}+\sqrt{2021}\end{aligned}

Lalu, bagaimana nasib y? Dengan pemilihan kondisi seperti disebutkan di atas, nilai ysudah pasti2021/2. Tidak wajib dihitung, namun kita hitung saja.

\begin{aligned}\sqrt{4042}+\sqrt{2021}&=\sqrt{y-x}+\sqrt{z-y}+\sqrt{z-x}\\\sqrt{4042}+\sqrt{2021}&=\sqrt{y}+\sqrt{2021-y}+\sqrt{2021}\\\sqrt{4042}-\sqrt{y}&=\sqrt{2021-y}\\4042+y-2\sqrt{4042y}&=2021-y\\2021+2y&=2\sqrt{4042y}\\2021+2y&=2\sqrt{2021}\sqrt{2y}\\2021+2y-2\sqrt{2021}\sqrt{2y}&=0\\\left(\sqrt{2021}-\sqrt{2y}\right)^2&=0\\\sqrt{2y}&=\sqrt{2021}\\\Rightarrow y&=\frac{2021}{2}\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  Nilai maksimum dari \sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|} adalah:
\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,\bf\sqrt{4042}+\sqrt{2021}\,}\end{aligned}$}

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 15 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>