Tentukan determinan matriks A yang memenuhi persamaan A

Berikut ini adalah pertanyaan dari husnaandina pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai determinan matriks A tidak dapat ditentukan.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pertama, kita coba telusuri dengan sifat invers matriks, setidaknya agar kita dapat mencari matriks $A$ , dan kemudian menentukan nilai determinannya.

Misalkan persamaan tersebut dinyatakan dengan $AB=C$ , di mana

$\begin{aligned}B=\begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&2\\1&-2&2\\\end{pmatrix}\,,\ C=\begin{pmatrix}-6 & 0 & 8 \\5 & -7 & 5 \\9 & -9 & 3\end{pmatrix}\end{aligned}$

maka, dengan sifat invers matriks, matriks $A$ dapat ditentukan dengan:

$\begin{aligned}A\cdot B&=C\\A\cdot B\cdot B^{-1}&=C\cdot B^{-1}\\A\cdot I&=C\cdot B^{-1}\\\therefore\ A&=C\cdot B^{-1}\\\end{aligned}$

Kita perhatikan matriks $B$ . Terdapat 2 baris yang elemennya sama persis, yaitu baris ke-2 dan baris ke-3. Kedua baris ini dikatakan "proporsional", dan matriks $B$ dikatakantidak bebas linear. Matriks seperti ini determinannya = 0.

Jika belum yakin, dihitung saja.

$\begin{aligned}\det(B)&=\begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&2\\1&-2&2\\\end{vmatrix}\\&=(-2)(-2)(2)+(1)(2)(1)+(1)(1)(-2)\\&\quad\ {}-(1)(-2)(1)-(-2)(2)(-2)-(2)(1)(1)\\&=8+2-2+2-8-2\\&=8-8+2-2+2-2\\\det(B)&=\bf0\end{aligned}$

Jika determinan sebuah matriks sama dengan 0, maka matriks tersebut tidak memiliki invers.

Oleh karena itu, persamaan $A=C\cdot B^{-1}$ tidak bisa diselesaikan, sehingga kita tidak bisa memperoleh matriks $A$ .

Karena matriks $A$ tidak dapat ditentukan, maka nilai determinannya juga tidak bisa ditentukan.

______________

Kedua, kita coba telusuri dengan sifat determinan.

Determinan dari hasil perkalian dua buah matriks sama nilainya dengan hasil kali determinan kedua matriks tersebut. Hal ini dinyatakan dengan:

$\begin{aligned}\det(AB)=\det(A)\det(B)\end{aligned}$

Dari persamaan yang diberikan, $AB=C$ .

Maka:

$\begin{aligned}\det(C)&=\det(AB)\\&=\det(A)\det(B)\\\det(A)&=\frac{\det(C)}{\det(B)}\\\therefore\ \det(A)&=\frac{\det(C)}{0}\\\end{aligned}$

Pembagian terhadap 0 tak terdefinisi. Oleh karena itu, $\det(A)$ tak terdefinisi. Dengan kata lain, kita tidak bisa menentukan nilai determinan matriks A.