HP = { x | 2/3 ≤ x ≤ 8/3, x ∈ ℝ }

Pembahasan

Diberikan pertidaksamaan: |2 – x| + |3 – 2x| ≤ 3

Terdapat dua nilai mutlak pada pertidaksamaan tersebut, yaitu |2 – x| dan |3 – 2x|.

Kita tentukan titik kritis untuk kedua nilai mutlak tersebut, sehingga kita memperoleh interval domain.

Untuk |2 – x|:

• 2 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2
  ⇒ |2 – x| = 2 – x    ....(i)

• 2 – x < 0 ⇒ x > 2
  ⇒ |2 – x| = –(2 – x) = x – 2    ....(ii)

Untuk |3 – 2x|:

• |3 – 2x| ≥ 0 ⇒ x ≤ 3/2
  ⇒ |3 – 2x| = 3 – 2x    ....(iii)

• |3 – 2x| < 0 ⇒ x > 3/2
  ⇒ |3 – 2x| = –(3 – 2x) = 2x – 3    ....(iv)

Dari hasil di atas, kita peroleh interval domain:

• x ≤ 3/2,  
• 3/2 < x ≤ 2, dan
• x > 2

Interval pertama: x ≤ 3/2

• Gunakan (i) dan (iii).
  2 – x + 3 – 2x ≤ 3
  ⇒ –3x + 5 ≤ 3
  ⇒ –3x ≤ 3 – 5
  ⇒ –3x ≤ –2
  (kalikan –1)
  ⇒ 3x ≥ 2
  ⇒ x ≥ 2/3
  (gabungkan dengan x ≤ 3/2)
  ⇒ (x ≥ 2/3) dan (x ≤ 3/2)
  ⇒ 2/3 ≤ x ≤ 3/2    ....(A)

Interval kedua: 3/2 < x ≤ 2

• Gunakan (i) dan (iv).
  2 – x + 2x – 3 ≤ 3
  ⇒ x – 1 ≤ 3
  ⇒ x ≤ 3 + 1
  ⇒ x ≤ 4
  (gabungkan dengan 3/2 < x ≤ 2)
  ⇒ (x ≤ 4) dan (3/2 < x ≤ 2)
  ⇒ 3/2 < x ≤ 2    ....(B)

Interval ketiga: x > 2

• Gunakan (ii) dan (iv).
  x – 2 + 2x – 3 ≤ 3
  ⇒ 3x – 5 ≤ 3
  ⇒ 3x ≤ 3 + 5
  ⇒ 3x ≤ 8
  ⇒ x ≤ 8/3
  (gabungkan dengan x > 2)
  ⇒ (x ≤ 8/3) dan (x > 2)
  ⇒ 2 < x ≤ 8/3    ....(C)

Gabungkan interval (A), (B), dan (C).

(2/3 ≤ x ≤ 3/2)  atau  (3/2 < x ≤ 2)  atau  (2 < x ≤ 8/3)

≡ 2/3 ≤ x ≤ 8/3

KESIMPULAN

∴  Jadi, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan |2 – x| + |3 – 2x| ≤ 3 adalah:

HP = { x | 2/3 ≤ x ≤ 8/3, x ∈ ℝ }