1. Diketahui x1, x2, x3 merupakan akar-akar persamaan x^3-4x^2+5x+6=0. Tentukan nilai:a) x1^2 + x2^2 + x3^2
b) x1^3 + x2^3 + x3^3

2. Persamaan x^3-3x^2+px+q=0 mempunyai dua akar kembar, sedang akar yang ketiga berlawanan dengan akar-akar kembar itu. Tentukan nilai p dan q.

3. Persamaan x^3-2x^2+px-8=0 memiliki akar-akar yang membentuk barisan geometri. Tentukan nilai p.

Kelas : 11
Mapel : Matematika
Kategori : Suku Banyak
Kata Kunci : Operasi hitung akar-akar suku banyak
Kode : 11.2.5 (Kelas 11 Matematika Bab 5 - Suku Banyak)

Materi :
ax³ + bx² + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 = -b/a
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
x1.x2.x3 = -d/a

Pembahasan :

SOAL NO. 1
(1) x³ - 4x² + 5x + 6 = 0
x1 + x2 + x3 = -b/a = -(-4)/1 = 4
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a = 5/1 = 5
x1.x2.x3 = -d/a = -6/1 = -6

a) x1² + x2² + x3²
= (x1 + x2 + x3)² - 2(x1.x2 + x1.x3 + x2.x3)
= (4)² - 2(5)
= 16 - 10
= 6

b) x1³ + x2³ + x3³ = ... ?
f(x) = x³ - 4x² + 5x + 6
f(x1) = (x1)³ - 4(x1)² + 5(x1) + 6 = 0
f(x2) = (x2)³ - 4(x2)² + 5(x2) + 6 = 0
f(x3) = (x3)³ - 4(x3)² + 5(x3) + 6 = 0
------------------------------------------------------ +
=> x1³ + x2³ + x3³ - 4(x1² + x2² + x3²) + 5(x1 + x2 + x3) + 18 = 0
=> x1³ + x2³ + x3³ - 4(6) + 5(4) + 18 = 0
=> x1³ + x2³ + x3³ - 24 + 20 + 18 = 0
=> x1³ + x2³ + x3³ + 14 = 0
=> x1³ + x2³ + x3³ = -14

Atau bisa menggunakan rumus :

x1³ + x2³ + x3³
= (x1 + x2 + x3)³ - 3(x1 + x2 + x3)(x1.x2 + x1.x3 + x2.x3) - 3 x1.x2.x3
= (4)³ - 3(4)(5) - 3(6)
= 64 - 60 - 18
= -14

SOAL NO. 2
(2) x³ - 3x² + px + q = 0
akar - akarnya x1, x2, x3

mempunyai akar kembar dan akar ketiga berlawanan dengan akar kembar tersebut maka :
x2 = x1 dan x3 = -x1

x1 + x2 + x3 = -b/a
x1 + x1 + (-x1) = -(-3)/1
x1 = 3
sehingga diperoleh :
x2 = 3 dan x3 = -3

Maka suku banyak tersebut dapat diperoleh dari pemfaktorannya yaitu :
(x - 3)(x - 3)(x + 3) = 0
(x - 3)(x² - 9) = 0
x³ - 9x - 3x² + 27 = 0
x³ - 3x² - 9x + 27 = 0
x³ - 3x² + px + q = 0

Jadi nilai dari p = -9 dan q = 27

SOAL NO. 3
(3) x³ - 2x² + px - 8 = 0
Akar - akarnya x1, x2, x3 dan merupakan tiga suku barisan geometri
sehingga berlaku :
U2/U1 = U3/U2 ==> perbandingan rasio
x2/x1 = x3/x2
x1.x3 = x2²

x1.x2.x3 = -d/a
x1.x3.x2 = -(-8)/1
x2².x2 = 8
x2³ = 2³
x2 = 2

Substitusikan ke persamaan suku banyak :
x³ - 2x² + px - 8 = 0
2³ - 2(2)² + p(2) - 8 = 0
8 - 8 + 2p - 8 = 0
2p = 8
p = 4