Tentukan semua titik pada bagian bidang x+y+z=5 pada oktan pertama

Berikut ini adalah pertanyaan dari 18Navillera pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan semua titik pada bagian bidang x+y+z=5 pada oktan pertama dimana f(x,y,z)=xy²z² mempunyai nilai maksimum. Kemudian carilah nilai maksimumnya.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai maksimum fungsi $f(x,y,z)=xy^2z^2$ pada bagian bidang $x+y+z=5$ pada oktan pertama adalah16.

PEMBAHASAN

Untuk mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi f(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z) = 0 dapat menggunakan metode Lagrange. Dimana :

$\bigtriangledown f(x,y,z)=\lambda\bigtriangledown g(x,y,z)~~~~~~~~dan~g(x,y,z)=0\\\\dengan~:\\\\\bigtriangledown f(x,y,z)=turunan~berarah~fungsi~f(x,y,z)\\\\\bigtriangledown g(x,y,z)=turunan~berarah~fungsi~g(x,y,z)\\\\\lambda=faktor~pengali~lagrange\\$

DIKETAHUI

$f(x,y,z)=xy^2z^2$

DITANYA

Tentukan nilai maksimum dari f(x,y,z)semua titik pada bagian bidang $x+y+z=5$ pada oktan pertama.

PENYELESAIAN

$f(x,y,z)=xy^2z^2\\\\\bigtriangledown f(x,y,z)=(y^2z^2)\vec{i}+(2xyz^2)\vec{j}+2xy^2z\vec{k}\\\\\\fungsi~kendala:~\\\\x+y+z=5\\\\x+y+z-5=0\\\\maka\\\\g(x,y,z)=x+y+z-5\\\\\bigtriangledown g(x,y,z)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\\$

Selesaikan dengan metode Lagrange

$\bigtriangledown f(x,y,z)=\lambda\bigtriangledown g(x,y,z)\\$

Dengan menyamakan kedua ruas kita peroleh persamaan persamaan Langrangenya adalah :

$y^2z^2=\lambda(1)~~~~~~~~~~~...(i)\\\\2xyz^2=\lambda(1)~~~~~~~~~~~...(ii)\\\\2xy^2z=\lambda(1)~~~~~~~~~~~...(iii)\\\\x+y+z=5~~~~~~~~~~~...(iv)\\\\\\pers.(i)~dan~pers.(ii)\\\\\lambda=\lambda\\\\y^2z^2=2xyz^2\\\\y^2z^2-2xyz^2=0\\\\yz^2(y-2x)=0\\\\yz^2=0\\\\atau\\\\y-2x=0\\\\y=2x~~~~~~~~...(v)\\$

$\\pers.(i)~dan~pers.(iii)\\\\\lambda=\lambda\\\\y^2z^2=2xy^2z\\\\y^2z^2-2xy^2z=0\\\\y^2z(z-2x)=0\\\\y^2z=0\\\\atau\\\\z-2x=0\\\\z=2x~~~~~~~~...(vi)\\$