Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x+2)² + (y-1)² = 26

Berikut ini adalah pertanyaan dari rainkagu pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x+2)² + (y-1)² = 26 melalui titik (2,5)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan garis singgung lingkaran (x+2)² + (y-1)² = 26 melalui titik (2,5) adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\left ( 13+\sqrt{39} \right )x+\left ( 13-\sqrt{39} \right )y-91+3\sqrt{39}=0}}$ atau $\displaystyle{\boldsymbol{\left ( 13-\sqrt{39} \right )x+\left ( 13+\sqrt{39} \right )y-91-3\sqrt{39}=0}}$ .

PEMBAHASAN

Dari titik (x₁,y₁) di luar lingkaran (x-a)² + (y-b)² = r² dapat kita tarik 2 buah garis yang menyinggung lingkaran. Untuk mencari persamaan garis singgungnya dapat menggunakan metode garis polar, dengan cara :

Mencari persamaan garis polar di titik (x₁,y₁), yaitu (x₁-a)(x-a) + (y₁-b)(y-b) = r².
Mencari titik potong antara lingkaran dan garis polar.
Mencari persamaan garis singgung lingkaran di titik hasil no 2 dengan rumus (x₁-a)(x-a) + (y₁-b)(y-b) = r².

DIKETAHUI

Lingkaran (x+2)² + (y-1)² = 26.

DITANYA

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (2,5).

PENYELESAIAN

> Cek kedudukan titik terhadap lingkaran.

Substitusi (2,5) ke dalam persamaan lingkaran.

$(2+2)^2+(5-1)^2=26$

$16+16 > 26$

$32 > 26$

Karena hasilnya > r², titik (2,5) berada di luar lingkaran. Kita gunakan cara garis polar.

> Cari persamaan garis polar lingkaran di titik (2,5).

Lingkaran $(x+2)^2+(y-1)^2=26$ mempunyai titik pusat di (-2,1) dan r² = 26, sehingga :

(a,b) = (-2,1)

(x₁, y₁) = (2,5)

Persamaan garis polarnya :

$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

$(2+2)(x+2)+(5-1)(y-1)=26$

$4(x+2)+4(y-1)=26~~~...kedua~ruas~dibagi~4$

$\displaystyle{x+2+y-1=\frac{26}{4} }$

$\displaystyle{y=\frac{11}{2}-x~~~...(i) }$

> Cari titik potong antara lingkaran dan garis polar.

Substitusi pers.(i) ke persamaan lingkaran :

$(x+2)^2+(y-1)^2=26$

$\displaystyle{(x+2)^2+\left ( \frac{11}{2}-x-1 \right )^2=26 }$

$\displaystyle{(x+2)^2+\left ( \frac{9}{2}-x \right )^2=26 }$

$\displaystyle{x^2+4x+4+\frac{81}{4}-9x+x^2-26=0 }$

$\displaystyle{2x^2-5x-\frac{7}{4}=0 }$

Gunakan rumus ABC :

$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\left ( -\frac{7}{4} \right )(5)}}{2(2)}}$

$\displaystyle{x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{39}}{4}}$

$\displaystyle{x_{1}=\frac{5+\sqrt{39}}{4}~atau~x_{2}=\frac{5-\sqrt{39}}{4}}$

Untuk $\displaystyle{x=\frac{5+\sqrt{39}}{4}}$ :

$\displaystyle{y=\frac{11}{2}-\frac{5+\sqrt{39}}{4}}$

$\displaystyle{y=\frac{22-5-\sqrt{39}}{4}}$

$\displaystyle{y=\frac{17-\sqrt{39}}{4}}$

Untuk $\displaystyle{x=\frac{5-\sqrt{39}}{4}}$ :

$\displaystyle{y=\frac{11}{2}-\frac{5-\sqrt{39}}{4}}$

$\displaystyle{y=\frac{22-5+\sqrt{39}}{4}}$

$\displaystyle{y=\frac{17+\sqrt{39}}{4}}$

Titik potongnya = $\displaystyle{\left ( \frac{5+\sqrt{39}}{4},\frac{17-\sqrt{39}}{4} \right )}$ dan $\displaystyle{\left ( \frac{5-\sqrt{39}}{4},\frac{17+\sqrt{39}}{4} \right )}$

> Cari persamaan garis singgung lingkaran.

Persamaan garis singgung di titik $\displaystyle{\left ( \frac{5+\sqrt{39}}{4},\frac{17-\sqrt{39}}{4} \right )}$ :

$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

$\displaystyle{\left ( \frac{5+\sqrt{39}}{4}+2 \right )(x+2)+\left ( \frac{17-\sqrt{39}}{4}-1 \right )(y-1)=26}$

$\displaystyle{\left ( \frac{13+\sqrt{39}}{4} \right )(x+2)+\left ( \frac{13-\sqrt{39}}{4} \right )(y-1)=26~~~...kedua~ruas~dikali~4}$

$\displaystyle{(13+\sqrt{39})(x+2)+\left ( 13-\sqrt{39} \right )(y-1)=104}$

$\displaystyle{(13+\sqrt{39})x+26+2\sqrt{39}+\left ( 13-\sqrt{39} \right )y-13+\sqrt{39}=104}$

$\displaystyle{\left ( 13+\sqrt{39} \right )x+\left ( 13-\sqrt{39} \right )y-91+3\sqrt{39}=0}$

Persamaan garis singgung di titik $\displaystyle{\left ( \frac{5-\sqrt{39}}{4},\frac{17+\sqrt{39}}{4} \right )}$ :

$\displaystyle{\left ( \frac{5-\sqrt{39}}{4}+2 \right )(x+2)+\left ( \frac{17+\sqrt{39}}{4}-1 \right )(y-1)=26}$

$\displaystyle{\left ( \frac{13-\sqrt{39}}{4} \right )(x+2)+\left ( \frac{13+\sqrt{39}}{4} \right )(y-1)=26~~~...kedua~ruas~dikali~4}$

$\displaystyle{(13-\sqrt{39})(x+2)+\left ( 13+\sqrt{39} \right )(y-1)=104}$

$\displaystyle{(13-\sqrt{39})x+26-2\sqrt{39}+\left ( 13+\sqrt{39} \right )y-13-\sqrt{39}=104}$

$\displaystyle{\left ( 13-\sqrt{39} \right )x+\left ( 13+\sqrt{39} \right )y-91-3\sqrt{39}=0}$

KESIMPULAN

Persamaan garis singgung lingkarannya adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\left ( 13+\sqrt{39} \right )x+\left ( 13-\sqrt{39} \right )y-91+3\sqrt{39}=0}}$ atau $\displaystyle{\boldsymbol{\left ( 13-\sqrt{39} \right )x+\left ( 13+\sqrt{39} \right )y-91-3\sqrt{39}=0}}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Persamaan garis singgung lingkaran metode garis polar : yomemimo.com/tugas/51387225
PGS lingkaran dari titik di luar lingkaran : yomemimo.com/tugas/27697087
PGS lingkaran dari titik pada lingkaran : yomemimo.com/tugas/29521145

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Lingkaran

Kode Kategorisasi: 11.2.5.1

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 16 Sep 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah