Diketahui persamaan (3x^2 -2x+1) / (x^3-5x^2 -x+5) = (a/x+1)+(b/x-1)+(c/x-5)

Berikut ini adalah pertanyaan dari zorapeach12 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\displaystyle a={\bf\frac{1}{2}}\,,\ b={\bf-\frac{1}{4}}\,,\ {\rm dan\ }c={\bf\frac{11}{4}}$

(opsi c)

Pembahasan

Dekomposisi Pecahan Parsial

Diketahui

$\displaystyle\frac{3x^2-2x+1}{x^3-5x^2-x+5}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x-5}$

Ditanyakan

Nilai a, b, dan c

PENYELESAIAN

$\begin{aligned}\frac{3x^2-2x+1}{x^3-5x^2-x+5}&=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x-5}\\&=\frac{a(x-1)(x-5)+b(x+1)(x-5)+c(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)(x-5)}\\&=\frac{a\left(x^2-6x+5\right)+b\left(x^2-4x-5\right)+c\left(x^2-1\right)}{\left(x^2-1\right)(x-5)}\\\frac{3x^2-2x+1}{x^3-5x^2-x+5}&=\frac{(a+b+c)x^2-(6a+4b)x+5a-5b-c}{x^3-5x^2-x+5}\end{aligned}$

Memperhatikan kesamaan letak koefisien pada pembilang masing-masing ruas persamaan, maka dapat dibentuk sebuah sistem persamaan, yaitu:

$\begin{cases}a+b+c=3&...(i)\\6a+4b=2\\\Rightarrow3a+2b=1&...(ii)\\5a-5b-c=1&...(iii)\end{cases}$

Dari persamaan $(i)$ dan $(iii)$ , kita eliminasi $c$ .

$\begin{aligned}&\ \,a+\ \,b+c=3\\&5a-5b-c=1\\&\textsf{---------------------}\ +\\&6a-4b\quad\ \;=4\\&\Rightarrow 3a-2b=2\\&\Rightarrow 2b=3a-2\quad...(iv)\end{aligned}$

Substitusi persamaan $(iv)$ ke dalam $(ii)$ .

$\begin{aligned}(iv)\to(ii):\ &3a+3a-2=1\\\Rightarrow\ &6a=3\\\therefore\ &a=\boxed{\ \bf\frac{1}{2}\ }\end{aligned}$

Substitusi nilai $a$ ke dalam $(iv)$ .

$\begin{aligned}a\to(ii):\ &2b=3\cdot\frac{1}{2}-2\\\Rightarrow\ &2b=-\frac{1}{2}\\\therefore\ &b=\boxed{\ \bf-\frac{1}{4}\ }\end{aligned}$

Substitusi nilai $a$ dan $b$ ke dalam $(i)$ .

$\begin{aligned}a,b\to(i):\ &\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)+c=3\\\Rightarrow\ &\frac{1}{4}+c=3\\\Rightarrow\ &c=3-\frac{1}{4}=2\,\frac{3}{4}\\\therefore\ &c=\boxed{\ \bf\frac{11}{4}\ }\end{aligned}$