1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis (susah): Urutkan bilangan irasional ini dr yg terkecil sampai yang

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis (susah):Urutkan bilangan irasional ini dr
yg terkecil sampai yang terbesar

⁵√5 ; ³√3 ; ⁷√7

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Urutan bilangan irasional ⁵√5 ; ³√3 ; ⁷√7 dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah:
⁷√7 ; ⁵√5 ; ³√3
Atau dapat juga dinyatakan dengan pertidaksamaan:
⁷√7 < ⁵√5 < ³√3
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk mengurutkan ⁵√5 ; ³√3 ; ⁷√7, dapat ditempuh langkah-langkah berikut ini.

Pertama-tama, kita ubah bentuk akar ketiga bilangan menjadi bentuk perpangkatan/eksponen.

\begin{aligned}5^{1/5}\ ;\ 3^{1/3}\ ;\ 7^{1/7}\end{aligned}

3, 7, dan 5 adalah bilangan prima, jadi jelas bahwa ketiga bilangan tersebut koprima (FPB ketiga bilangan = 1). Maka, KPK ketiga bilangan adalah 3 × 7 × 5.

Oleh karena itu, pangkatkan ketiga bilangan dengan 3 × 7 x 5.

\begin{aligned}&\left(5^{1/5}\right)^{3\times7\times5}\ ;\ \left(3^{1/3}\right)^{3\times7\times5}\ ;\ \left(7^{1/7}\right)^{3\times7\times5}\\&\Rightarrow5^{3\times7}\ ;\ 3^{7\times5}\ ;\ 7^{3\times5}\\&\Rightarrow5^{21}\ ;\ 3^{35}\ ;\ 7^{15}\\\end{aligned}

Dalam sistem bilangan desimal (basis 10), jika banyak digit dari sebuah bilangan bulat ndinyatakan olehD(n), maka:

D(n)=\left \lfloor 1+\log n \right \rfloor

Dengan n = a^b:

\begin{aligned}D\left(a^b\right)&=\left \lfloor 1+\log\left(a^b\right) \right \rfloor\\&=\left \lfloor 1+b\log a \right \rfloor\end{aligned}

Banyak digit dari 5²¹

\begin{aligned}D\left(5^{21}\right)&=\left \lfloor 1+21\log 5 \right \rfloor\\&=\left \lfloor 1+21(\log10-\log2) \right \rfloor\\&=\left \lfloor 1+21-21\log2 \right \rfloor\\&=\left \lfloor 22-21\log2 \right \rfloor\\\end{aligned}

Banyak digit dari 3³⁵

\begin{aligned}D\left(3^{35}\right)&=\left\lfloor1+35\log3\right\rfloor\\&=\left \lfloor 1+35\left(\log\frac{3}{5}+\log5\right)\right\rfloor\\&=\left \lfloor 1+35\left(\log\frac{3}{5}+\log10-\log2\right)\right\rfloor\\&=\left \lfloor 1+35\log10-35\log2+35\log\left(\frac{3}{5}\right) \right \rfloor\\&=\left \lfloor 36-35\log2+35\log\left(\frac{3}{5}\right) \right \rfloor\\&=\left \lfloor 22+14-21\log2-14\log2+35\log\left(\frac{3}{5}\right) \right \rfloor\end{aligned}
\begin{aligned}&=\left \lfloor 22-21\log2+14(1-\log2)+35\log\left(\frac{3}{5}\right) \right \rfloor\\D\left(3^{35}\right)&=D\left(5^{21}\right)+\left \lfloor 14(1-\log2)+35\log\left ( \frac{3}{5} \right ) \right \rfloor\\\end{aligned}

Jadi, D\left(5^{21}\right) < D\left(3^{35}\right).
⇒ 5^{21} < 3^{35}
⇒ ⁵√5 < ³√3

Banyak digit dari 7¹⁵

\begin{aligned}D\left(7^{15}\right)&=\left\lfloor1+15\log7\right\rfloor\\&=\left \lfloor 1+15\left(\log\frac{7}{5}+\log5\right)\right\rfloor\\&=\left \lfloor 1+15\left(\log\frac{7}{5}+\log10-\log2\right)\right\rfloor\\&=\left \lfloor 1+15\log10-15\log2+15\log\left(\frac{7}{5}\right) \right \rfloor\\&=\left \lfloor 16-15\log2+15\log\left(\frac{7}{5}\right) \right \rfloor\\&=\left \lfloor 22-6-21\log2+6\log2+15\log\left(\frac{7}{5}\right) \right \rfloor\end{aligned}
\begin{aligned}&=\left \lfloor 22-21\log2-6(1-\log2)+15\log\left(\frac{7}{5}\right) \right \rfloor\\D\left(7^{15}\right)&=D\left(5^{21}\right)-\left \lfloor 6(1-\log2)-15\log\left(\frac{7}{5}\right) \right \rfloor\\\end{aligned}

Jadi, D\left(7^{15}\right) < D\left(5^{21}\right).
⇒ 7^{15} < 5^{21}
⇒ ⁷√7 < ⁵√5

KESIMPULAN

Telah diperoleh bahwa ⁵√5 < ³√3dan⁷√7 < ⁵√5, sehingga:
⁷√7 < ⁵√5 < ³√3.
Maka, urutan dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah:
⁷√7 ; ⁵√5 ; ³√3
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 12 Feb 23
<< Previous Post
Next Post >>