1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

KUIS Diketahui fungsi [tex]\displaystyle \rm f(x) = a\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}[/tex] memiliki titik stasioner di (4,

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

KUISDiketahui fungsi
\displaystyle \rm f(x) = a\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}
memiliki titik stasioner di (4, 13)

dan diketahui fungsi
\displaystyle \rm f(x) = c\sqrt{x}+\frac{d}{\sqrt{x}}
yang memiliki titik belok di (4, 13)

Buktikan jika a + b - c - d = 4⅞

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbukti benar bahwa a + b - c - d = 4⅞.
 

Pembahasan

\displaystyle f(x) = a\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}dan\displaystyle g(x)=c\sqrt{4}+\frac{d}{\sqrt{4}}berturut-turut memiliki titik stasioner dan titik belok di(4, 13). Fungsi kedua diganti namanya menjadi g(x) agar lebih jelas.

Maka:

\begin{aligned}13&=f(4)&&=g(4)\\13&=a\sqrt{4}+\frac{b}{\sqrt{4}}&&=c\sqrt{4}+\frac{d}{\sqrt{4}}\\&=2a+\frac{b}{2}&&=2c+\frac{d}{2}\\\therefore\ 26&=\begin{cases}4a+b&(i)\\4c+d&(ii)\end{cases}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\end{aligned}

Karena (4, 13) adalah titik stasioner dari f(x), apapun jenisnya, maka f'(4)=0.

\begin{aligned}0&=\left.\left(a\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}\right)'\right|_{x=4}\\&=\left.\left(ax^{1/2}+bx^{-1/2}\right)'\right|_{x=4}\\&=\left.\left(\frac{ax^{-1/2}}{2}-\frac{bx^{-3/2}}{2}\right)\right|_{x=4}\\&=\left.\left(\frac{a}{2\sqrt{x}}-\frac{b}{2\sqrt{x^3}}\right)\right|_{x=4}\\&=\frac{a}{2\sqrt{4}}-\frac{b}{2\sqrt{64}}\\&=\frac{a}{4}-\frac{b}{16}\\0&=4a-b\ \Rightarrow\ 4a=b\quad(iii)\end{aligned}

Karena (4, 13) adalah titik belok dari g(x), maka g''(4) = 0. Bentuk fungsi g(x)serupa denganf(x), sehingga kita dapat memanfaatkan hasil di atas.

\begin{aligned}0&=\left.\left(c\sqrt{x}+\frac{d}{\sqrt{x}}\right)''\right|_{x=4}\\&=\left.\left(\frac{cx^{-1/2}}{2}-\frac{dx^{-3/2}}{2}\right)'\right|_{x=4}\\&=\left.\left(-\frac{cx^{-3/2}}{4}+\frac{3dx^{-5/2}}{4}\right)\right|_{x=4}\\&=\left.\left(\frac{3d}{4\sqrt{x^5}}-\frac{c}{4\sqrt{x^3}}\right)\right|_{x=4}\\&=\frac{3d}{4\sqrt{4^5}}-\frac{c}{4\sqrt{4^3}}\\&=\frac{3d}{4\sqrt{2^{10}}}-\frac{c}{4\sqrt{2^{6}}}\end{aligned}
\begin{aligned}0&=\frac{3d}{4\cdot2^5}-\frac{c}{4\cdot2^3}\\0&=\frac{3d}{2^5}-\frac{c}{2^3}=\frac{3d}{32}-\frac{c}{8}\\0&=3d-4c\ \Rightarrow\ 4c=3d\quad(iv)\end{aligned}

Substitusi (iii) \to (i) memberikan

\begin{aligned}&26=4a+b=b+b=2b\\&\Rightarrow b=13\end{aligned}

Substitusi (iv) \to (ii) memberikan

\begin{aligned}&26=4c+d=3d+d=4d\\&\Rightarrow 4d=26\end{aligned}

Kemudian, kita akan membuktikan bahwa a + b - c - d = 4⅞.

\begin{aligned}&a + b - c - d\\{=\ }&a+b-(c+d)\\{=\ }&\frac{1}{4}\left[4a+4b-(4c+4d)\right]\\&...\textsf{ $b\to4a$ dan $3d\to4c$}\\{=\ }&\frac{1}{4}\left[b+4b-(3d+4d)\right]\\{=\ }&\frac{1}{4}\left[5b-\frac{7}{4}\cdot4d\right]\end{aligned}
\begin{aligned}&...\textsf{ $13\to b$ dan $26\to4d$}\\{=\ }&\frac{1}{4}\left[5\cdot13-\frac{7}{4}\cdot26\right]\\{=\ }&\frac{1}{4}\left[5\cdot13-\frac{7}{2}\cdot13\right]\\{=\ }&\frac{1}{8}\left[10\cdot13-7\cdot13\right]\\{=\ }&\frac{13}{8}\left[10-7\right]\\{=\ }&\frac{39}{8}=\frac{4\cdot8+7}{8}\\{=\ }&\bf4\,\frac{7}{8}\implies\sf terbukti!\end{aligned}

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 15 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>