Menggunakan Teorema Konvergensi Monoton, buktikan bahwa W = ( 6n

Berikut ini adalah pertanyaan dari PatrickStar001 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Menggunakan Teorema Konvergensi Monoton, buktikan bahwa W = ( 6n + 5/ n+3) konvergen dan hitung lim W $w = ( \frac{6n + 5}{n + 3} )$ bantuin yg bsa :'

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbukti benarbahwa barisan $W$ konvergen, berdasarkan teorema konvergensi monoton.

Nilai limitnya adalah:
$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{6n+5}{n+3}=\boxed{\ \bf6\ }\end{aligned}$
 
___________________

Pendahuluan

Teorema Konvergensi Monoton

Teorema konvergensi monoton menyatakan bahwa setiap barisan yang monoton dan terbatas selalu bersifat konvergen. Hal ini dapat diperinci dengan:

Jika barisan $(u_n)$ monoton naik atau monoton tidak turun dan terbatas di atas, maka barisan $(u_n)$ konvergen.
Jika barisan $(u_n)$ monoton turun atau monoton tidak naik dan terbatas di bawah, maka barisan $(u_n)$ konvergen.

___________________

Pembahasan

Persoalan

Menggunakan Teorema Konvergensi Monoton, buktikan bahwa
$\begin{aligned}W=\left ( \frac{6n+5}{n+3} \right )\end{aligned}$
konvergen, dan hitung limit W.

PENYELESAIAN

Akan ditunjukkan bahwa $(w_n)$ terbatas di atas dan monoton naik.

$\begin{aligned}w_1&=\frac{11}{4}=2{,}75\\w_2&=\frac{17}{5}=3{,}4\\w_3&=\frac{23}{6}=3{,}8333...\\\vdots\\w_{10}&=\frac{65}{13}=5\\\vdots\\w_{23}&=\frac{143}{26}=5{,}5\\\vdots\\w_{127}&=\frac{767}{130}=5{,}9\\\vdots\\w_{1297}&=\frac{7787}{1300}=5{,}99\\\vdots\\w_{12997}&=\frac{77987}{13000}=5{,}999\\\vdots\\w_{129997}&=\frac{779987}{130000}=5{,}9999\\\vdots\end{aligned}$

Jadi, suku-suku barisan tersebut adalah 2,75, 3,4, 3,8333..., ..., 5, ..., 5,5, ..., 5,9, ..., 5,99, ..., 5,999, ..., 5,9999, ... sehingga jelas bahwa barisan $W$ terbatas di atas.

Kemudian, akan ditunjukkan bahwa barisan $W$ monoton naik, yaitu dengan membuktikan: $w_{n+1} > w_n$ .

$\begin{aligned}&w_{n+1}-w_n\\&=\frac{6(n+1)+5}{(n+1)+3}-\frac{6n+5}{n+3}\\&=\frac{(6n+5)+6}{(n+3)+1}-\frac{6n+5}{n+3}\\&=\frac{\left((6n+5)+6\right)(n+3)-(6n+5)\left((n+3)+1\right)}{(n+3)^2+n+3}\\&=\frac{\cancel{(6n+5)(n+3)}+6(n+3)-\cancel{(6n+5)(n+3)}-(6n+5)}{(n+3)^2+n+3}\\&=\frac{6(n+3)-(6n+5)}{(n+3)^2+n+3}\\&=\frac{\cancel{6n}+18-\cancel{6n}-5}{(n+3)^2+n+3}\\&=\frac{13}{(n+3)^2+n+3}\ > \ 0\,,\ n\in\mathbb{N}\\\end{aligned}$

Dengan $n \in \mathbb{N}$ , penyebut pasti positif, sehingga nilai pecahan tersebut pasti positif (lebih dari 0). Oleh karena itu, $w_{n+1} > w_n$ .

Jadi, barisan $(w_n)$ atau barisan $W$ tersebut adalahbarisan yang monoton naik.

∴ Oleh karena barisan $(w_n)$ atau barisan $W$ tersebutmonoton naik dan terbatas di atas, maka:

Terbukti benar bahwa barisan tersebut KONVERGEN.
$\blacksquare$

Nilai limit $W$ pada saat $n$ tak hingga:

$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{6n+5}{n+3}&=\lim_{n\to\infty}\frac{(6n+5)\cdot(1/n)}{(n+3)\cdot(1/n)}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(6+\dfrac{5}{n}\right)}{\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}\\&=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\left(6+\dfrac{5}{n}\right)}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}\\&=\frac{6+0}{1+0}\\\therefore\lim_{n\to\infty}\frac{6n+5}{n+3}&=\boxed{\:\bf6\:}\end{aligned}$
$\blacksquare$