Penyelesaian dari pertidaksamaan (–x – 4)(x² – 6x + 5) < 0 adalah:
–4 < x < 1  atau  x > 5.
Himpunan penyelesaian = { x | –4 < x < 1  atau  x > 5 }
Dalam notasi interval: (–4, 1) ∪ (5, ∞)
 

Pembahasan

Pertidaksamaan Polinomial

Diberikan pertidaksamaan:
(–x – 4)(x² – 6x + 5) < 0

Faktorkan:

• (–x – 4) = (–1)(x + 4)
• (x² – 6x + 5) = (x – 1)(x – 5)

⇒ (–1)(x + 4)(x – 1)(x – 5) < 0

Kalikan kedua ruas dengan (–1), operator pertidaksamaan berubah dari “<” menjadi “>”.

⇒ (–1)(–1)(x + 4)(x – 1)(x – 5) > 0
⇒ (x + 4)(x – 1)(x – 5) > 0

Titik kritis dari pertidaksamaan ini adalah:

• x + 4 = 0  ⇒ x = –4
• x – 1 = 0  ⇒ x = 1
• x – 5 = 0  ⇒ x = 5

Dari titik kritis tersebut, kita selidiki semua interval atau rentang nilai x yang mungkin.

• Rentang x < –4:
  x + 4 < 0
  x – 1 < 0
  x – 5 < 0
  ⇒ (x + 4)(x – 1)(x – 5) = (–)(–)(–) = (–)
  ⇒ (x + 4)(x – 1)(x – 5) < 0
  ⇒ Interval x < –4 bukan solusi dari pertidaksamaan.

• Rentang –4 < x < 1:
  x + 4 > 0
  x – 1 < 0
  x – 5 < 0
  ⇒ (x + 4)(x – 1)(x – 5) = (+)(–)(–) = (+)
  ⇒ (x + 4)(x – 1)(x – 5) > 0
  ⇒ Interval –4 < x < 1 merupakan solusi dari pertidaksamaan.

• Rentang 1 < x < 5:
  x + 4 > 0
  x – 1 > 0
  x – 5 < 0
  ⇒ (x + 4)(x – 1)(x – 5) = (+)(+)(–) = (–)
  ⇒ (x + 4)(x – 1)(x – 5) < 0
  ⇒ Interval 1 < x < 5 bukan solusi dari pertidaksamaan.

• Rentang x > 5:
  x + 4 > 0
  x – 1 > 0
  x – 5 > 0
  ⇒ (x + 4)(x – 1)(x – 5) = (+)(+)(+) = (+)
  ⇒ (x + 4)(x – 1)(x – 5) > 0
  ⇒ Interval x > 5 merupakan solusi dari pertidaksamaan.

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, penyelesaian dari pertidaksamaan (–x – 4)(x² – 6x + 5) < 0 adalah –4 < x < 1  atau  x > 5.
Himpunan penyelesaian = { x | –4 < x < 1  atau  x > 5 }
Dalam notasi interval: (–4, 1) ∪ (5, ∞)