mengapa f(x) = e^(x) jika diturunkan tetap menghasilkan e^(x) ?

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Mengapa f(x) = e^(x) jika diturunkan tetap menghasilkan e^(x) ?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbukti bahwa turunan dari $f(x)=e^x$ adalah $\boldsymbol{f'(x)=e^x}$ .

PEMBAHASAN

Turunan atau Diferensial merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Turunan dari fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut :

$\displaystyle{f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} }$

DIKETAHUI

$f(x)=e^x$

DITANYA

Buktikan bahwa turunan dari f(x) adalah $f'(x)=e^x$

PENYELESAIAN

Dengan menggunakan turunan implisit, misal :

$y=e^x$

$lny=lne^x$

$lny=xlne~~~...lne=1$

$lny=x~~~...turunkan~kedua~ruas~terhadap~x$

$\displaystyle{\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1 }$

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=y }$

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=e^x }$

Dengan menggunakan definisi turunan dan definisi bilangan euler e.

$\displaystyle{e= \lim_{n \to 0} \left ( 1+n \right )^{\frac{1}{n}} }$

$\displaystyle{f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} }$

$\displaystyle{f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} }$

$\displaystyle{f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h-1)}{h} }$

$\displaystyle{f'(x)=e^x\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} }$

$---------------$

Misal :

$t=e^h-1$

$e^h=t+1$

$lne^h=ln(t+1)$

$hlne=ln(t+1)$

$h=ln(t+1)$

Karena $h\to0$ maka $t\to~e^0-1=0$

$---------------$

$\displaystyle{f'(x)=e^x\lim_{t \to 0} \frac{t}{ln(t+1)} }$

$\displaystyle{f'(x)=e^x\lim_{t \to 0} \frac{t}{ln(t+1)}\times\frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}} }$

$\displaystyle{f'(x)=e^x\lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t}ln(t+1)} }$

$\displaystyle{f'(x)=e^x\times\frac{1}{\lim\limits_{t \to 0}ln(t+1)^{\frac{1}{t}}} }$

$\displaystyle{f'(x)=e^x\times\frac{1}{ln\left [ \lim\limits_{t \to 0} (t+1)^{\frac{1}{t}} \right ]} }$

$\displaystyle{f'(x)=e^x\times\frac{1}{lne} }$

$\displaystyle{f'(x)=e^x\times\frac{1}{1} }$

$\displaystyle{f'(x)=e^x }$

KESIMPULAN

Terbukti bahwa turunan dari $f(x)=e^x$ adalah $\boldsymbol{f'(x)=e^x}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Turunan fungsi dengan definisi turunan : yomemimo.com/tugas/37805652
Turunan fungsi dengan definisi turunan : yomemimo.com/tugas/37256842
Turunan implisit : yomemimo.com/tugas/47375968

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Turunan

Kode Kategorisasi: 11.2.9

Kata Kunci : definisi, turunan, fungsi, limit, bilangan, euler.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 03 Jun 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

mengapa f(x) = e^(x) jika diturunkan tetap menghasilkan e^(x) ?​