Jawaban:

Panjang kayu sebelum dipotong adalah 155. Hasil ini diperoleh dengan menggunakan rumus barisan geometri dan deret geometri. Potongan terpendek adalah suku pertama. Potongan terpanjang adalah suku ke-5. Panjang kayu sebelum dipotong adalah jumlah 5 suku pertama deret geometri. Simak penjelasan berikut.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki beda tiap suku yang ditentukan dengan perbandingan (rasio) tetap. Perbandingan tetap tersebut disimbolkan dengan r. Suku ke-n dari barisan geometri dapat dirumuskan sebagai berikut.

Uₙ = arⁿ⁻¹

dengan

a = suku pertama.

r = rasio atau perbandingan.

n = suku ke- (bilangan real 1, 2, 3...).

Un = nilai suku ke-n.

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Penjumlahan suku pertama hingga suku ke-n dapat dirumuskan sebagai berikut.

S_{n} = \frac{a (1-r^{n} )} {1 - r}S

n

=

1−r

a(1−r

n

)

; untuk r < 1

S_{n} = \frac{a (r^{n} - 1)} {r - 1}S

n

=

r−1

a(r

n

−1)

; untuk r > 1

dengan

Sn = jumlah n suku pertama

Diketahui

Kayu dipotong menjadi 5 bagian → n = 5.

Potongan terpendek = 5 cm → U₁ = a = 5 cm.

Potongan terpanjang = 80 cm → U₅ = 80 cm.

Ditanya

Berapa panjang kayu sebelum dipotong? → S₅ = ?

Jawab

>> Menentukan rasio, r

Uₙ = arⁿ⁻¹

U₅ = a × r⁵⁻¹

80 = 5 × r⁴

r^{4} = \frac{80} {5}r

4

=

5

80

r^{4} = 16r

4

=16

r^{4} = 2^{4}r

4

=2

4

r = 2r=2

>> Menentukan panjang kayu sebelum dipotong

Karena r > 1, maka

S_{n} = \frac{a (r^{n} - 1)} {r - 1}S

n

=

r−1

a(r

n

−1)

S_{n} = \frac{5 (2^{5} - 1)} {2 - 1}S

n

=

2−1

5(2

5

−1)

S_{n} = \frac{5 (32 - 1)} {1}S

n

=

1

5(32−1)

S_{n} = {5 (31)}S

n

=5(31)

S_{n} = 155S

n

=155

Kesimpulan

Jadi, panjang kayu sebelum dipotong adalah 155.

Pelajari lebih lanjut

Menentukan jumlah 3 suku pertama deret geometri: yomemimo.com/tugas/22302515

Menentukan suku ke-5 barisan geometri jika U₆-U₄= 42√35 dan U₁₁ = 7U₉: yomemimo.com/tugas/21562133

Menentukan suku ke-15 barisan aritmetika jika U₃ + U₁₀ +U₃₂ = 135: yomemimo.com/tugas/21360122

Detail jawaban

Kelas: 9

Mapel: Matematika

Bab: Barisan dan Deret

Kode: 9.2.2