1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Hasil dari [tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \sqrt[\cos x-\cos 4x]{\cos 3x}[/tex] adalah ...

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Hasil dari
\displaystyle \lim_{x \to 0} \sqrt[\cos x-\cos 4x]{\cos 3x}
adalah ...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil dari
\large\text{$\begin{aligned}&\lim_{x \to 0}\sqrt[\begin{matrix}\small\text{$(\cos x-\cos 4x)\ \ $}\end{matrix}]{\cos 3x}\end{aligned}$}
adalah:
\boxed{\:\Large\text{$e^{(-3/5)}\ =\ \frac{1}{e^{(3/5)}}$}\:}
 

Pembahasan

\large\text{$\begin{aligned}&\lim_{x \to 0}\sqrt[\begin{matrix}\small\text{$(\cos x-\cos 4x)\ \ $}\end{matrix}]{\cos 3x}\\&{=\ }\lim_{x \to 0}\:\left(\cos3x\right)^{1/(\cos x-\cos 4x)}\\&\vphantom{\Big|}\ \to\textsf{Aturan eksponen}\\&{=\ }\lim_{x \to 0}\:e^u\ =\ e^{\small\text{$\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\:u\right)$}}\quad...(i)\\&\quad{\sf dengan\ }u=\log\left(\cos3x\right)^{1/(\cos x-\cos 4x)}\\\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\lim_{x \to 0}\:u\\&{=\ }\lim_{x \to 0}\left[\log\left(\cos3x\right)^{1/(\cos x-\cos 4x)}\right]\\&{=\ }\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{\cos x-\cos 4x}\cdot\log(\cos3x)\right)\\&{=\ }\lim_{x \to 0}\:\frac{\log(\cos3x)}{\cos x-\cos 4x}\\&\ \to\textsf{Memenuhi bentuk 0/0}\\&\ \to\textsf{Terapkan aturan L'H\^opital}\\&{=\ }\lim_{x \to 0}\:\frac{\frac{d}{dx}\log(\cos3x)}{\frac{d}{dx}(\cos x-\cos 4x)}\\\end{aligned}$}

.\quad\left[\ \begin{aligned}&\frac{d}{dx}\log(\cos3x)\\&{=\ }\frac{1}{\cos3x}\cdot\frac{d}{dx}(\cos3x)\\&{=\ }\frac{1}{\cos3x}\cdot(-\sin3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x)\\&{=\ }\left(-\frac{\sin3x}{\cos3x}\right)\cdot3\\&{=\ }-\frac{3\sin3x}{\cos3x}\end{aligned}\right.
.\quad\left[\ \begin{aligned}&\frac{d}{dx}(\cos x-\cos 4x)\\&{=\ }\frac{d}{dx}(\cos x)-\frac{d}{dx}(\cos4x)\\&{=\ }-\sin x-(-\sin4x)\cdot\frac{d}{dx}(4x)\\&{=\ }4\sin4x-\sin x\end{aligned}\right.

\large\text{$\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x \to 0}\:\frac{-\frac{3\sin3x}{\cos3x}}{4\sin4x-\sin x}\\&{=\ }\lim_{x \to 0}\:\frac{\frac{3\sin3x}{\cos3x}}{\sin x-4\sin4x}\\&{=\ }3\cdot\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{\cos3x}\cdot\frac{\sin3x}{\sin x-4\sin4x}\right)\\&{=\ }3\cdot\lim_{x \to 0}\:\frac{1}{\cos3x}\cdot\lim_{x \to 0}\:\frac{\sin3x}{\sin x-4\sin4x}\\&{=\ }3\cdot1\cdot\lim_{x \to 0}\:\frac{\sin3x}{\sin x-4\sin4x}\end{aligned}$}
\large\text{$\begin{aligned}&{=\ }3\cdot\lim_{x \to 0}\:\frac{\sin3x}{\sin x-4\sin4x}\\&\ \to\textsf{Limit masih berbentuk 0/0}\\&\ \to\textsf{Terapkan aturan L'H\^opital}\\&{=\ }3\cdot\lim_{x \to 0}\:\frac{\frac{d}{dx}\sin3x}{\frac{d}{dx}(\sin x-4\sin4x)}\\&{=\ }3\cdot\lim_{x \to 0}\:\frac{\cos3x\cdot\frac{d}{dx}(3x)}{\cos x-4\cos4x\cdot\frac{d}{dx}(4x)}\\&{=\ }3\cdot\lim_{x \to 0}\:\frac{3\cos3x}{\cos x-16\cos4x}\end{aligned}$}
\large\text{$\begin{aligned}&{=\ }3\cdot\frac{3\cos0}{\cos0-16\cos0}\\&{=\ }3\cdot\frac{3}{1-16}\\&{=\ }3\cdot\frac{3}{-15}\ =\ 3\cdot\frac{-1}{5}\\&{=\ }-\frac{3}{5}\\&\vphantom{\bigg|}\therefore\ \lim_{x \to 0}\:u=-\frac{3}{5}\end{aligned}$}

Substitusikan ke pers. (i).

\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ &\lim_{x \to 0}\sqrt[\begin{matrix}\small\text{$(\cos x-\cos 4x)\ \ $}\end{matrix}]{\cos 3x}\\&{=\ }e^{\small\text{$\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}\:u\right)$}}\\&{=\ }e^{(-3/5)}\ =\ \frac{1}{e^{(3/5)}}\end{aligned}$}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 24 Dec 22
<< Previous Post
Next Post >>