Diketahui f(x) adalah polinomial berderajat lima memenuhi f(1) = 1,

Berikut ini adalah pertanyaan dari ghozalipk4 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui f(x) adalah polinomial berderajat lima memenuhi f(1) = 1, f(2) = 1/4, f(3) =1/9, f(4) = 1/16 , f(5) = 1/25 , f(6) = 1/36 . Nilai dari f(8) adalah . . .

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\text{Nilai } \: f(8) = \frac{322561}{64} \: \:. \\$

Pembahasan

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan memahami konsep aturan sisa pada suku banyak (polinomial) terlebih dahulu.

Bentuk Umum Suku Banyak (polinomial)

$P(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + a_{3} x^{n - 3} + \cdots + a_{n - 1} x + a_{n} \\ \\ a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots a_{n - 2}, a_{n - 1} \: \: \text{adalah koefisien} \\ \\ a_{n} \: \: \text{konstanta} \\ \\ n \: \: \text{adalah derajat atau pangkat tertinggi} \\ \\$

Aturan sisa pada pembagian suku banyak

$\boxed{P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)} \\ \\ P(x) \: \: \text{adalah polinomial atau suku banyak} \\ \\ Q(x) \: \: \text{adalah pembagi} \\ \\ H(x) \: \: \text{adalah hasil bagi} \\ \\ S(x) \: \: \text{adalah sisa pembagian} \\ \\$

Diketahui :

$f(x) \: \text{ adalah polinomial berderajat 5 yang memenuhi } \\ \\ f(1) = 1, f(2) = \frac{1}{4} \:, \: f(3) = \frac{1}{9} \: , \: f(4) = \frac{1}{16} \:, \: f(5) = \frac{1}{25} \:, \: \text{ dan } \: f(6) = \frac{1}{36} \: \: . \\$

Ditanya :

$\text{Nilai } \: f(8) \:. \\$

Jawab :

Gunakan aturan sisa pembagian polinomial.

$f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6)$ dapat dinyatakan sebagai berikut :

$\begin{aligned} f(1) - 1 & \: = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) \\ \\ f(2) - \frac{1}{2^2} \: & = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) \\ \\ f(3) - \frac{1}{3^2} \: & = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) \\ \\ f(4) - \frac{1}{4^2} \: & = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) \\ \\ f(5) - \frac{1}{5^2} \: & = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) \\ \\ f(6) - \frac{1}{6^2} \: & = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) \\ \\ \vdots \\ \\ f(x) - \frac{1}{x^2} \: & = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) \\ \\ \Leftrightarrow \: \: f(x) \: & = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) + \frac{1}{x^2} \\ \\ \end{aligned}$

$\text{Substitusikan } \: x = 8 \: \text{ ke } \: f(x) \:. \\$

$\begin{aligned} f(x) & \: = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) + \frac{1}{x^2} \\ \\ f(8) \: & = (8-1)(8-2)(8-3)(8-4)(8-5)(x-6) + \frac{1}{8^2} \\ \\ \: & = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 + \frac{1}{64} \\ \\ \: & = 5040 + \frac{1}{64} \\ \\ \: & = 5040 \frac{1}{64} \\ \\ \: & = \frac{322561}{64} \\ \\ \end{aligned}$