1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui :[tex]f(x) = {17x}^{2} + 4x - 17[/tex][tex]g(x) = x

Berikut ini adalah pertanyaan dari C0RAZ0N pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui :f(x) = {17x}^{2} + 4x - 17
g(x) = x - 17
h(x) = \frac{2x \: - \: 4}{x}
Tentukan :
(g \circ h)^{-1} \: \circ \: f(x)
​​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}\vphantom{\Bigg|}&\left((g\circ h)^{-1}\circ f\right)(x)=\boxed{\,\bf-\frac{4}{17x^2+4x-2}\,}\\&\ {\sf dengan}\ x\ne\begin{cases}\vphantom{\Bigg|}\dfrac{-2+\sqrt{38}}{17}\\\vphantom{\Bigg|}\dfrac{-2-\sqrt{38}}{17}\end{cases}\end{aligned}
 

Pembahasan

Diketahui:

\begin{aligned}\bullet\ \ &f(x)=17x^2+4x-17\\\bullet\ \ &g(x)=x-17\\\bullet\ \ &h(x)=\frac{2x-4}{x}\\\end{aligned}

Ditanyakan:

\begin{aligned}\left((g\circ h)^{-1}\circ f\right)(x)\end{aligned}

PENYELESAIAN

Pada komposisi fungsi, berlaku:

\begin{aligned}(g\circ h)^{-1}(x)=\left(h^{-1}\circ g^{-1}\right)(x)\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}&\left((g\circ h)^{-1}\circ f\right)(x)=\left(\left(h^{-1}\circ g^{-1}\right)\circ f\right)(x)\end{aligned}

Kita bisa mencari (g\circ h)^{-1}(x) terlebih dahulu, atau mengikuti bentuk pada ruas kanan.

Invers dari g(x):

\begin{aligned}&g(x)=y=x-17\\&\Rightarrow x=g(y)=y+17\\&\Rightarrow g^{-1}(x)=x+17\\\end{aligned}

Invers dari h(x):

\begin{aligned}&h(x)=y=\frac{2x-4}{x}\\&\Rightarrow xy=2x-4\\&\Rightarrow xy-2x=-4\\&\Rightarrow x(y-2)=-4\\&\Rightarrow x=h(y)=-\frac{4}{y-2}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow h^{-1}(x)=-\frac{4}{x-2}\,,\ \ x\ne2\\\end{aligned}

Sehingga:

\begin{aligned}&\left((g\circ h)^{-1}\circ f\right)(x)\\&{=\ }\left(\left(h^{-1}\circ g^{-1}\right)\circ f\right)(x)\\&{=\ }\left(h^{-1}\circ\left(g^{-1}\circ f\right)\right)(x)\quad...\textsf{asosiatif}\\&{=\ }h^{-1}\left(g^{-1}(f(x))\right)\\&{=\ }-\frac{4}{\left(g^{-1}(f(x))\right)-2}\\&{=\ }-\frac{4}{\left(f(x)+17\right)-2}\\&{=\ }-\frac{4}{f(x)+15}\\&{=\ }-\frac{4}{17x^2+4x-17+15}\\&{=\ }\boxed{\,-\frac{4}{17x^2+4x-2}\,}\\\end{aligned}

Kita perlu menetapkan domain fungsi, dengan memperhatikan penyebutnya. Jika domain x adalah bilangan real, maka xharus memenuhi17x^2+4x-2 \ne 0.

Akar-akar 17x^2+4x-2=0 :

\begin{aligned}17x^2&+4x-2=0\\\quad(a&=17,\ b=4,\ c=-2)\\x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot17\cdot(-2)}}{2\cdot17}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{16+136}}{2\cdot17}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{152}}{2\cdot17}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{4\cdot38}}{2\cdot17}\\&=\frac{-4\pm2\sqrt{38}}{2\cdot17}\\&=\frac{-2\pm\sqrt{38}}{17}\\\end{aligned}

KESIMPULAN

Dengan demikian, secara lengkap dapat kita simpulkan:

\begin{aligned}\vphantom{\Bigg|}&\left((g\circ h)^{-1}\circ f\right)(x)=\boxed{\,\bf-\frac{4}{17x^2+4x-2}\,}\\&\ {\sf dengan}\ x\ne\begin{cases}\vphantom{\Bigg|}\dfrac{-2+\sqrt{38}}{17}\\\vphantom{\Bigg|}\dfrac{-2-\sqrt{38}}{17}\end{cases}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 18 Dec 22
<< Previous Post
Next Post >>