x² – y² + z² ∈ {–15, 33, 65}
 

Pembahasan

Diketahui

• x + y + z = 5  ...(i)
• x(y+z) + yz = –29   ...(ii)
• xyz = –105   ...(iii)
• x, y, z, akar persamaan kubik

PENYELESAIAN

105 = 3×5×7, sehingga dari persamaan (iii) dapat disimpulkan bahwa salah satu dari x, y, atau z bernilai negatif.

Dari persamaan (i):
x+y+z = 5
⇒ y+z = 5–x   ...(iv)

Dari persamaan (iii):
xyz = –105
⇒ yz = –105/x   ...(v)

Pada persamaan (ii), kita substitusi y+z dan yz dari (iv) dan (v).
x(5–x) + (–105/x) = –29
⇒ 5x – x² – 105/x = –29
⇒ 5x² – x³ – 105 = –29x
⇒ x³ – 5x² – 29x + 105 = 0

Faktorkan saja, karena kita sudah mengetahui kemungkinan nilai-nilainya. Bisa juga menggunakan rumus ABCD untuk persamaan kubik.
x³ – 5x² – 29x + 105 = 0
⇒ (x–3)(x² – 2x – 35) = 0
⇒ (x–3)(x–7)(x+5) = 0

Jadi, akar-akarnya adalah 3, 7, dan –5.

Oleh karena itu, ada 6 kemungkinan (x, y, z), yaitu:

• (–5, 3, 7),
• (–5, 7, 3),
• (3, –5, 7),
• (3, 7, –5),
• (7, –5, 3), dan
• (7, 3, –5),

tergantung bagaimana kita memilih nilai-nilainya.

Pada x² – y² + z², nilai x dan z dapat saling bertukar tempat, sehingga dari keenam tripel (x, y, z) tersebut, akan diperoleh 3 kemungkinan nilai x² – y² + z².

• (–5, 3, 7) atau (7, 3, –5):
  ⇒  x² – y² + z² = 25 – 9 + 49 = 65
• (–5, 7, 3) atau (3, 7, –5):
  ⇒  x² – y² + z² = 25 – 49 + 9 = –15
• (3, –5, 7) atau (7, –5, 3):
  ⇒  x² – y² + z² = 9 – 25 + 49 = 33

KESIMPULAN

∴  x² – y² + z² ∈ {–15, 33, 65}