Tolong bantu jawab kk.. materi Limit FungsiKelas XII Semester 1lim

Berikut ini adalah pertanyaan dari eici pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong bantu jawab kk..materi Limit Fungsi
Kelas XII Semester 1

lim x -> 0 (3tan 4x * sin 2x)/(4x * sin 5x) =...

butuh bangett penjelasannya

NB: soal Pilihan Berganda. Lebih jelas ada di gambar ya kk, terimakasih

Tolong bantu jawab kk.. materi Limit FungsiKelas XII Semester 1lim x -> 0 (3tan 4x * sin 2x)/(4x * sin 5x) =...butuh bangett penjelasannyaNB: soal Pilihan Berganda. Lebih jelas ada di gambar ya kk, terimakasih

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\large\text{$\begin{aligned}\lim_{x\to0}\:\frac{3\tan(4x)\sin(2x)}{4x\sin(5x)}=\boxed{\vphantom{\bigg|}\ \bf\frac{6}{5}\ }\end{aligned}$}$
 

Pembahasan

Mungkin kita bisa menyederhanakan fungsi dalam badan limit dengan mengaplikasikan beberapa identitas trigonometri. Namun cara penyelesaian di bawah ini menggunakan aljabar, aturan limit fungsi dan aturan L'Hopital.

By the way, semua opsi jawaban bernilai sama. Maka, jawabannya memang itu, dan yang dikehendaki adalah cara penyelesaiannya.

PENYELESAIAN

$\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&\lim_{x\to0}\:\frac{3\tan(4x)\sin(2x)}{4x\sin(5x)}\\\vphantom{\bigg|}&{=\ }\lim_{x\to0}\left[\frac{3}{4}\cdot\frac{\tan(4x)\sin(2x)}{x\sin(5x)}\right]\\\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Keluarkan konstanta}\\\vphantom{\bigg|}&{=\ }\frac{3}{4}\cdot\lim_{x\to0}\:\frac{\tan(4x)\sin(2x)}{x\sin(5x)}\\\vphantom{\bigg|}&{=\ }\frac{3}{4}\cdot\lim_{x\to0}\:\left[\frac{\tan(4x)}{x}\cdot\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)}\right]\end{aligned}$
$\begin{aligned}\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Aturan perkalian limit}\\\vphantom{\bigg|}&{=\ }\frac{3}{4}\cdot\left[\lim_{x\to0}\:\frac{\tan(4x)}{x}\right]\cdot\left[\lim_{x\to0}\:\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)}\right]\end{aligned}$
$\begin{aligned}.&\quad\left[\ \begin{aligned}\lim_{x\to0}\:\frac{\tan(4x)}{x}&\ \textsf{memenuhi bentuk 0/0}\\\to&\ \textsf{aturan L'H\^{o}pital}\\\lim_{x\to0}\:\frac{\tan(4x)}{x}&=\lim_{x\to0}\:\frac{\frac{d}{dx}[\tan(4x)]}{\frac{d}{dx}(x)}\\&=\lim_{x\to0}\:\frac{\sec^2(4x)\cdot\frac{d}{dx}(4x)}{1}\\&=\lim_{x\to0}\:4\sec^2(4x)\\&=4\cdot\sec^2(4\cdot0)\\&=4\end{aligned}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&{=\ }\frac{3}{\cancel{4}}\cdot\cancel{4}\cdot\lim_{x\to0}\:\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)}\\\vphantom{\bigg|}&{=\ }3\cdot\lim_{x\to0}\:\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)}\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}.&\quad\left[\ \begin{aligned}\lim_{x\to0}\:\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)}&\ \textsf{memenuhi bentuk 0/0}\\\to&\ \textsf{aturan L'H\^{o}pital}\\\lim_{x\to0}\:\frac{\sin(2x)}{\sin(5x)}&=\lim_{x\to0}\:\frac{\frac{d}{dx}[\sin(2x)]}{\frac{d}{dx}[\sin(5x)]}\\&=\lim_{x\to0}\:\frac{\cos(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x)}{\cos(5x)\cdot\frac{d}{dx}(5x)}\\&=\lim_{x\to0}\:\frac{2\cos(2x)}{5\cos(2x)}\\&=\frac{2\cdot\cos(2\cdot0)}{5\cdot\cos(5\cdot0)}\\&=\frac{2}{5}\end{aligned}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&{=\ }3\cdot\frac{2}{5}=\boxed{\vphantom{\bigg|}\ \bf\frac{6}{5}\ }\quad\blacksquare\end{aligned}$