Kuis (susah): Jika f(x) = y³, buktikan jika y =

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis (susah):
Jika f(x) = y³, buktikan jika
y = {³√(f(x)), -½ ³√(f(x)) (1±√3 i)}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Pernyataan bahwa jika $f(x)=y^3$ maka

$\begin{aligned}y\in \left\{ \sqrt[3]{f(x)}\,,\ -\frac{1}{2}\sqrt[3]{f(x)}\left(1\pm\sqrt{3}\,i\right) \right \}\end{aligned}$

TERBUKTI.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pembuktian

$\begin{aligned}f(x)&=y^3\\0&=y^3-f(x)\\0&=\left(y-\sqrt[3]{f(x)}\right)y^2+y^2\sqrt[3]{f(x)}-f(x)\\0&=\left(y-\sqrt[3]{f(x)}\right)y^2+\left(y-\sqrt[3]{f(x)}\right)y\sqrt[3]{f(x)}\\&\ \:\vdots\ \:+y\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2-f(x)\\0&=\left(y-\sqrt[3]{f(x)}\right)y^2+\left(y-\sqrt[3]{f(x)}\right)y\sqrt[3]{f(x)}\\&\ \:\vdots\ \:+\left(y-\sqrt[3]{f(x)}\right)\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2\\0&=\left(y-\sqrt[3]{f(x)}\right)\left[y^2+y\sqrt[3]{f(x)}+\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2\right]\end{aligned}$

Akar/solusi pertamauntuk $y$ :

$\begin{aligned}&y-\sqrt[3]{f(x)}=0\\&\therefore\ \boxed{\,y=\sqrt[3]{f(x)}\,}\end{aligned}$

Akar/solusi kedua dan ketigauntuk $y$ :

$\begin{aligned}&y^2+\sqrt[3]{f(x)}+\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2=0\\&{\Rightarrow\ }y^2+\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)y=-\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2\\&{\Rightarrow\ }y^2+2\left(\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}\right)y=-\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2\\&{\Rightarrow\ }y^2+2\left(\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}\right)y+\left(\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}\right)^2\\&\ \:\vdots\ \ =-\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2+\left(\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}\right)^2\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\left(y+\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}\right)^2=\frac{-4\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2+\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2}{4}\\&{\Rightarrow\ }\left(y+\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}\right)^2=\frac{-3\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2}{4}\\&{\Rightarrow\ }y+\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}=\pm\sqrt{\frac{-3\left(\sqrt[3]{f(x)}\right)^2}{4}}\\&{\Rightarrow\ }y+\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}=\pm\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}\sqrt{3}\sqrt{-1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }y+\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}=\pm\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}\sqrt{3}\,i\\&{\Rightarrow\ }y=-\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}\pm\frac{\sqrt[3]{f(x)}}{2}\sqrt{3}\,i\\&{\Rightarrow\ }y=-\frac{1}{2}\sqrt[3]{f(x)}\left(1\mp\sqrt{3}\,i\right)\\&\quad\textsf{atau dapat ditulis juga sebagai:}\\&{\therefore\ }\boxed{\,y=-\frac{1}{2}\sqrt[3]{f(x)}\left(1\pm\sqrt{3}\,i\right)\,}\\\end{aligned}$