TIDAK TERBUKTI bahwa luas segitiga CPS = ⁹/₄·a² satuan²

(Yang benar: ⁹/₁₆·a² satuan²)

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB sepanjang 'a' satuan.

• Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH: r = a satuan.

AC adalah diagonal bidang ABCD, sehingga panjang AC adalah a√2 satuan, karena AC = √(2a²) = a√2 satuan.

Titik P, Q, R, dan S masing-masing adalah titik tengah garis EH, AD, AB, dan QR, sehingga pada segitiga siku-siku sama kaki AQR:

• AQ = AR = ½a satuan,
• QR = √(2×¼a²) = ½a√2 satuan,
• AS = QS = ½QR = ¼a√2 satuan, karena ΔAQS atau ΔARS adalah segitiga siku-siku sama kaki juga dan saling kongruen.

Maka,

CS = AC – AS = a(√2 – ¼√2)
⇔ CS = ³/₄·a√2 satuan

Pada segitiga siku-siku PQS:

• PQ = r = a satuan,
• PS = √(PQ² + QS²)
  ⇔ PS = √[a² + (1/8)a²] = √[(9/8)a²]
  ⇔ PS = (3/2)a√(½) = ³/₄·a√2 satuan

Jadi CS = PS = ³/₄·a√2 satuan, dan ΔCPS adalah segitiga siku-siku.

Sehingga luas ΔCPS adalah:

L ΔCPS = ½CS²

⇔ L ΔCPS = ½·(9/8)a²

⇔ L ΔCPS = ⁹/₁₆·a² satuan²

∴  Tidak terbukti bahwa luas segitiga CPS = ⁹/₄·a² satuan².

____________________

Catatan:

Karena penasaran mengapa tidak terbukti, saya buat modelnya dengan sebuah aplikasi. Kubus ABCD.EFGH tersebut panjang rusuknya adalah 4 satuan, jadi a = 4 satuan.

Dari perhitungan oleh aplikasi tersebut, luas ΔCPS = 9 satuan², yang artinya: ⁹/₁₆·4² satuan².