1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis (susah) - tiga soal:(1.) Jika 25ⁿ - 15ⁿ =

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis (susah) - tiga soal:(1.) Jika 25ⁿ - 15ⁿ = 9ⁿ,
buktikan jika n = lnφ ÷ (ln5-ln3)

(2) Jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4,
buktikan jika n = (ln2-ln3) ÷ lnφ

\sf (3)\:\:Jika\:\:\:2^x-2^y=2016,\:\:\:buktikan\\jika\:\:\:f^{-1}(x)=\:^2log(2^x+2016)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

  1. Pernyataan bahwa jika 25ⁿ – 15ⁿ = 9ⁿmakan = ln φ ÷ (ln 5 – ln 3) TERBUKTI.
  2. Pernyataan bahwa jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4makan = (ln 2 – ln 3) ÷ ln φ TERBUKTI.
  3. Pernyataan bahwa jika \bf2^x-2^y=2016maka\bf f^{-1}(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right) TERBUKTI.

 

Pembahasan

Nomor 1

Pernyataan yang ingin dibuktikan:
Jika 25ⁿ – 15ⁿ = 9ⁿ maka n = ln φ ÷ (ln 5 – ln 3).

Langkah Pembuktian

\begin{aligned}&25^n-15^n\:=\:9^n\\&{\Rightarrow\ }\left(5^2\right)^n\:-\:3^n5^n\:=\:\left(3^2\right)^n\\&{\Rightarrow\ }\left(5^n\right)^2\:-\:3^n5^n\:=\:\left(3^n\right)^2\\&\textsf{Ambil $a=5^n,\ b=3^n$}\\&{\Rightarrow\ }a^2-ba=b^2\\&{\Rightarrow\ }a^2-ba+\frac{b^2}{4}=b^2+\frac{b^2}{4}\\&{\Rightarrow\ }\left(a-\frac{b}{2}\right)^2=\frac{5b^2}{4}\\&{\Rightarrow\ }a-\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{5b^2}{4}}\\&{\Rightarrow\ }a=\frac{b}{2}\pm\frac{b\sqrt{5}}{2}\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }a=\frac{b\pm b\sqrt{5}}{2}=\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)b\\&{\Rightarrow\ }\frac{a}{b}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Substitusi kembali $a\leftarrow5^n,\ b\leftarrow3^n$}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }\frac{5^n}{3^n}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }\left(\frac{5}{3}\right)^n=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n={}^{(5/3)}\log\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Eliminasi numerus yang invalid}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n={}^{(5/3)}\log\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{\underline{Golden ratio}: $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n={}^{(5/3)}\log\varphi=\frac{{}^e\log\varphi}{{}^e\log(5/3)}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n=\frac{{}^e\log\varphi}{{}^e\log5-{}^e\log3}\end{aligned}
\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&{\therefore\ \ }n=\frac{\ln\varphi}{\ln5-\ln3}\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  Pernyataan bahwa jika 25ⁿ – 15ⁿ = 9ⁿ maka n = ln φ ÷ (ln 5 – ln 3) TERBUKTI.
\blacksquare

Nomor 2

Pernyataan yang ingin dibuktikan:
Jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4 maka n = (ln 2 – ln 3) ÷ ln φ.

Kita buktikan dengan cara serupa penyelesaian soal nomor 1.

Langkah Pembuktian

\begin{aligned}&\sqrt[n]{9}+\sqrt[n]{6}=\sqrt[n]{4}\\&\Rightarrow \sqrt[n]{4}\:-\:\sqrt[n]{6}=\sqrt[n]{9}\\&\Rightarrow \left(2^2\right)^{1/n}\:-\:3^{1/n}\cdot2^{1/n}=\left(3^2\right)^{1/n}\\&\Rightarrow \left(2^{1/n}\right)^2\:-\:3^{1/n}\cdot2^{1/n}=\left(3^{1/n}\right)^2\\&\textsf{Ambil $a=2^{1/n},\ b=3^{1/n}$}\\&\Rightarrow a^2-ba=b^2\\\end{aligned}

Dari penyelesaian soal nomor 1 di atas, solusi dari persamaan terakhir adalah:
\dfrac{a}{b}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}

Maka, langkah selanjutnya:

\begin{aligned}\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Substitusi kembali $a\leftarrow2^{1/n},\ b\leftarrow3^{1/n}$}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{2^{1/n}}{3^{1/n}}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^{1/n}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{1}{n}={}^{(2/3)}\log\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Eliminasi numerus yang invalid}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{1}{n}={}^{(2/3)}\log\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{\underline{Golden ratio}: $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{1}{n}={}^{(2/3)}\log\varphi\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow n={}^{\varphi}\log(2/3)=\frac{{}^e\log(2/3)}{{}^e\log\varphi}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow n=\frac{\ln(2/3)}{\ln\varphi}\end{aligned}
\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&\therefore\ n=\frac{\ln2-\ln3}{\ln\varphi}\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  Pernyataan bahwa jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4, maka n = (ln 2 – ln 3) ÷ ln φ TERBUKTI.
\blacksquare

Nomor 3

Pernyataan yang ingin dibuktikan:
Jika \bf2^x-2^y=2016maka\bf f^{-1}(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right).

Langkah Pembuktian

\begin{aligned}&2^x-2^y=2016\\&\Rightarrow 2^x=2^y+2016\\&\Rightarrow x={}^2\log\left(2^y+2016\right)\\&\Rightarrow g(y)={}^2\log\left(2^y+2016\right)\end{aligned}

Fungsi g(y)menyatakang:y\to x, yang merupakan inversdarif:x\to y.

Oleh karena itu, dengan mengganti variabel ymenjadix, diperoleh:

\begin{aligned}&f^{-1}(x)=g(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right)\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  Pernyataan bahwa jika \bf 2^x-2^y=2016maka\bf f^{-1}(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right) TERBUKTI.
\blacksquare

________________

Kesimpulan Tambahan
Dari penyelesaian soal nomor 1 dan nomor 2, dapat diperoleh kesimpulan tambahan, yang terdapat pada lampiran (dilampirkan karena konten jawaban sudah mencapai jumlah maksimum karakter).

Pernyataan bahwa jika 25ⁿ – 15ⁿ = 9ⁿ maka n = ln φ ÷ (ln 5 – ln 3) TERBUKTI.Pernyataan bahwa jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4 maka n = (ln 2 – ln 3) ÷ ln φ TERBUKTI.Pernyataan bahwa jika [tex]\bf2^x-2^y=2016[/tex] maka [tex]\bf f^{-1}(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right)[/tex] TERBUKTI. PembahasanNomor 1Pernyataan yang ingin dibuktikan:Jika 25ⁿ – 15ⁿ = 9ⁿ maka n = ln φ ÷ (ln 5 – ln 3).Langkah Pembuktian[tex]\begin{aligned}&25^n-15^n\:=\:9^n\\&{\Rightarrow\ }\left(5^2\right)^n\:-\:3^n5^n\:=\:\left(3^2\right)^n\\&{\Rightarrow\ }\left(5^n\right)^2\:-\:3^n5^n\:=\:\left(3^n\right)^2\\&\textsf{Ambil $a=5^n,\ b=3^n$}\\&{\Rightarrow\ }a^2-ba=b^2\\&{\Rightarrow\ }a^2-ba+\frac{b^2}{4}=b^2+\frac{b^2}{4}\\&{\Rightarrow\ }\left(a-\frac{b}{2}\right)^2=\frac{5b^2}{4}\\&{\Rightarrow\ }a-\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{5b^2}{4}}\\&{\Rightarrow\ }a=\frac{b}{2}\pm\frac{b\sqrt{5}}{2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }a=\frac{b\pm b\sqrt{5}}{2}=\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)b\\&{\Rightarrow\ }\frac{a}{b}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Substitusi kembali $a\leftarrow5^n,\ b\leftarrow3^n$}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }\frac{5^n}{3^n}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }\left(\frac{5}{3}\right)^n=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n={}^{(5/3)}\log\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Eliminasi numerus yang invalid}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n={}^{(5/3)}\log\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{\underline{Golden ratio}: $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n={}^{(5/3)}\log\varphi=\frac{{}^e\log\varphi}{{}^e\log(5/3)}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n=\frac{{}^e\log\varphi}{{}^e\log5-{}^e\log3}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&{\therefore\ \ }n=\frac{\ln\varphi}{\ln5-\ln3}\end{aligned}[/tex]KESIMPULAN∴  Pernyataan bahwa jika 25ⁿ – 15ⁿ = 9ⁿ maka n = ln φ ÷ (ln 5 – ln 3) TERBUKTI.[tex]\blacksquare[/tex]Nomor 2Pernyataan yang ingin dibuktikan:Jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4 maka n = (ln 2 – ln 3) ÷ ln φ.Kita buktikan dengan cara serupa penyelesaian soal nomor 1. Langkah Pembuktian[tex]\begin{aligned}&\sqrt[n]{9}+\sqrt[n]{6}=\sqrt[n]{4}\\&\Rightarrow \sqrt[n]{4}\:-\:\sqrt[n]{6}=\sqrt[n]{9}\\&\Rightarrow \left(2^2\right)^{1/n}\:-\:3^{1/n}\cdot2^{1/n}=\left(3^2\right)^{1/n}\\&\Rightarrow \left(2^{1/n}\right)^2\:-\:3^{1/n}\cdot2^{1/n}=\left(3^{1/n}\right)^2\\&\textsf{Ambil $a=2^{1/n},\ b=3^{1/n}$}\\&\Rightarrow a^2-ba=b^2\\\end{aligned}[/tex]Dari penyelesaian soal nomor 1 di atas, solusi dari persamaan terakhir adalah:[tex]\dfrac{a}{b}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]Maka, langkah selanjutnya:[tex]\begin{aligned}\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Substitusi kembali $a\leftarrow2^{1/n},\ b\leftarrow3^{1/n}$}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{2^{1/n}}{3^{1/n}}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^{1/n}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{1}{n}={}^{(2/3)}\log\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Eliminasi numerus yang invalid}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{1}{n}={}^{(2/3)}\log\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{\underline{Golden ratio}: $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{1}{n}={}^{(2/3)}\log\varphi\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow n={}^{\varphi}\log(2/3)=\frac{{}^e\log(2/3)}{{}^e\log\varphi}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow n=\frac{\ln(2/3)}{\ln\varphi}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&\therefore\ n=\frac{\ln2-\ln3}{\ln\varphi}\end{aligned}[/tex]KESIMPULAN∴  Pernyataan bahwa jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4, maka n = (ln 2 – ln 3) ÷ ln φ TERBUKTI.[tex]\blacksquare[/tex]Nomor 3Pernyataan yang ingin dibuktikan:Jika [tex]\bf2^x-2^y=2016[/tex] maka [tex]\bf f^{-1}(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right)[/tex].Langkah Pembuktian[tex]\begin{aligned}&2^x-2^y=2016\\&\Rightarrow 2^x=2^y+2016\\&\Rightarrow x={}^2\log\left(2^y+2016\right)\\&\Rightarrow g(y)={}^2\log\left(2^y+2016\right)\end{aligned}[/tex]Fungsi [tex]g(y)[/tex] menyatakan [tex]g:y\to x[/tex], yang merupakan invers dari [tex]f:x\to y[/tex].Oleh karena itu, dengan mengganti variabel [tex]y[/tex] menjadi [tex]x[/tex], diperoleh:[tex]\begin{aligned}&f^{-1}(x)=g(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right)\end{aligned}[/tex]KESIMPULAN∴  Pernyataan bahwa jika [tex]\bf 2^x-2^y=2016[/tex] maka [tex]\bf f^{-1}(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right)[/tex] TERBUKTI.[tex]\blacksquare[/tex]________________Kesimpulan TambahanDari penyelesaian soal nomor 1 dan nomor 2, dapat diperoleh kesimpulan tambahan, yang terdapat pada lampiran (dilampirkan karena konten jawaban sudah mencapai jumlah maksimum karakter).

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 16 Dec 22
<< Previous Post
Next Post >>