Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva Ngasal jawab/Bahasa alien auto

Berikut ini adalah pertanyaan dari AndrewMalsar pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurvaNgasal jawab/Bahasa alien auto report sampe ke akar-akar

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Luas daerah tersebut adalah $\displaystyle{1-\frac{50}{13}ln\frac{13}{12}-\frac{1}{13}\left [ \frac{41}{2}ln\frac{65}{50}+68(arctan8-arctan7) \right ] }$ satuan luas.

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan. Salah satu fungsi dari integral adalah untuk menghitung luas daerah di bawah kurva f(x), di mana :

$\displaystyle{L=\int\limits^b_a {f(x)} \, dx }$

Dengan a dan b merupakan batas tepi daerah yang mau dicari luasnya.

DIKETAHUI

$\displaystyle{y=\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x^2-4x+5)},~y=0,~x=9,~dan~x=10}$

DITANYA

Tentukan luas daerahnya.

PENYELESAIAN

$\displaystyle{\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x^2-4x+5)}=\frac{x^3-8x^2-1}{x^3-4x^2+5x+3x^2-12x+15}}$

$\displaystyle{\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x^2-4x+5)}=\frac{x^3-8x^2-1}{x^3-x^2-7x+15}}$

$\displaystyle{\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x^2-4x+5)}=\frac{(x^3-x^2-7x+15)+(-7x^2+7x-16)}{x^3-x^2-7x+15}}$

$\displaystyle{\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x^2-4x+5)}=\frac{x^3-x^2-7x+15}{x^3-x^2-7x+15}+\frac{-7x^2+7x-16}{x^3-x^2-7x+15}}$

$\displaystyle{\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x^2-4x+5)}=1+\frac{-7x^2+7x-16}{x^3-x^2-7x+15}}$

$\displaystyle{\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x^2-4x+5)}=1+\frac{-7x^2+7x-16}{(x+3)(x^2-4x+5)}}$

$---------------$

Misal :

$\displaystyle{\frac{-7x^2+7x-16}{(x+3)(x^2-4x+5)}=\frac{A}{(x+3)}+\frac{Bx+C}{(x^2-4x+5)} }$

$\displaystyle{\frac{-7x^2+7x-16}{(x+3)(x^2-4x+5)}=\frac{A(x^2-4x+5)+(Bx+C)(x+3)}{(x+3)} }$

$\displaystyle{\frac{-7x^2+7x-16}{(x+3)(x^2-4x+5)}=\frac{Ax^2-4Ax+5A+Bx^2+3Bx+Cx+3C}{(x+3)(x^2-4x+5)} }$

$\displaystyle{\frac{-7x^2+7x-16}{(x+3)(x^2-4x+5)}=\frac{(A+B)x^2+(-4A+3B+C)x+(5A+3C)}{(x+3)(x^2-4x+5)} }$

Samakan koefisien di kedua ruas.

$A+B=-7$

$B=-7-A~~~...(i)$

$-4A+3B+C=7$

$C=7+4A-3B~~~...substitusi~pers.(i)$

$C=7+4A-3(-7-A)$

$C=28+7A~~~...(ii)$

$5A+3C=-16~~~...substitusi~pers.(ii)$

$5A+3(28+7A)=-16$

$5A+84+21A=-16$

$26A=-100$

$\displaystyle{A=-\frac{50}{13}}$

Substitusi nilai A ke pers.(i) :

$B=-7-A$

$\displaystyle{B=-7+\frac{50}{13}}$

$\displaystyle{B=-\frac{41}{13}}$

Substitusi nilai A ke pers.(ii) :

$C=28+7A$

$\displaystyle{C=28+7(-\frac{50}{13})}$

$\displaystyle{C=\frac{14}{13}}$

Diperoleh :

$\displaystyle{\frac{-7x^2+7x-16}{(x+3)(x^2-4x+5)}=-\frac{50}{13(x+3)}+\frac{-41x+14}{13(x^2-4x+5)} }$

$---------------$

$\displaystyle{\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x^2-4x+5)}=1-\frac{50}{13(x+3)}+\frac{-41x+14}{13(x^2-4x+5)}}$

Kembali ke soal awal.

$\displaystyle{\int\limits^{10}_9 {\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x^2-4x+5)}} \, dx}$

$\displaystyle{=\int\limits^{10}_9 {\left [ 1-\frac{50}{13(x+3)}+\frac{-41x+14}{13(x^2-4x+5)} \right ]} \, dx }$

$\displaystyle{=x\Bigr|^{10}_9-\frac{50}{13}ln|x+3|\Bigr|^{10}_9-\frac{1}{13}\int\limits^{10}_9 {\frac{41x-14}{x^2-4x+5}} \, dx }$

$\displaystyle{=10-9-\frac{50}{13}\left ( ln|10+3|-ln|9+3| \right )-\frac{1}{13}\int\limits^{10}_9 {\left [ \frac{41(x-2)}{x^2-4x+5}+\frac{68}{x^2-4x+5} \right ]} \, dx }$

$\displaystyle{=1-\frac{50}{13}\left ( ln|13|-ln|12| \right )-\frac{1}{13}\int\limits^{10}_9 {\left [ \frac{41(2x-4)}{2(x^2-4x+5)}+\frac{68}{x^2-4x+4+1} \right ]} \, dx }$

$\displaystyle{=1-\frac{50}{13}ln\frac{13}{12}-\frac{1}{13}\left [ \int\limits^{10}_9 {\frac{41(2x-4)}{2(x^2-4x+5)}} \, dx+\int\limits^{10}_9 {\frac{68}{(x-2)^2+1}} \, dx \right ] }$

$---------------$

Misal :

$u=x^2-4x+5~\to~du=(2x-4)dx$

$x=9~\to~u=9^2-4(9)+5=50$

$x=10~\to~u=10^2-4(10)+5=65$

$v=x-2~\to~dv=dx$

$x=9~\to~v=9-2=7$

$x=10~\to~v=10-2=8$

$---------------$

$\displaystyle{=1-\frac{50}{13}ln\frac{13}{12}-\frac{1}{13}\left [ \int\limits^{65}_{50} {\frac{41(2x-4)}{2u}} \, \frac{du}{2x-4}+\int\limits^8_7 {\frac{68}{v^2+1}} \, dv \right ] }$