Pada suatu barisan geometri nilai suku ke-3 dan ke-s berturut-turut

Berikut ini adalah pertanyaan dari amel579815 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Pada suatu barisan geometri nilai suku ke-3 dan ke-s berturut-turut adalah 48 dan 68. Jumlah 4 suku pertamanya adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Pada suatu barisan geometri nilai suku ke-3 dan ke-5 berturut-turut adalah 48 dan 68. Jumlah 4 suku pertamanya adalah $\text S_{4} = 116$

Pendahuluan

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan bilangan yang memiliki pembanding (rasio) bernilai tetap.

Barisan geometri tersebut dapat dinyatakan sebagai : U₁, U₂, U₃, . . . . $\text U_{\text n}$ Sedangkan rumus suku ke-n barisan geometri ditentukan dengan rumus : $\boxed {\text U_{\text n} = \text a~.~\text r^{\text n - 1}}$

Deret geometri yaitu jumlah dari beberapa suku berurutan yang terdapat pada barisan geometri yang memiliki rasio tetap.

Deret geometrinya dapat dinyatakan sebagai : U₁ + U₂ + U₃ + . . . + $\text U_{\text n}$

Rumus Jumlah n suku suatu Deret Geometri adalah :

$\boxed{~\text S_{\text n} = \frac{\text a~.~(\text r^{\text n} - 1)}{(\text r - 1)}~}$ Jika r > 1 atau

$\boxed{~\text S_{\text n} = \frac{\text a~.~(1 - \text r^{\text n})}{(1 - \text r)} ~}$ Jika r < 1

Keterangan :

a = suku awal (U₁)

r = rasio (pembanding) = $\frac{\text U_2}{\text U_1} = \frac{\text U_{\text n}}{\text U_{\text n ~-~ 1}}$

$\text U_{\text n}$ = suku ke-n

$\text S_{\text n}$ = Jumlah suku ke-n

Diketahui :

Barisan geometri

$\text U_{3}$ = 48

$\text U_{5}$ = 68

Ditanyakan :

$\text S_{4}$ = . . . .

Jawab :

Menentukan nilai r (rasio)

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah $\text U_{\text n} = \text a~.~\text r^{\text n -1}$

Jika $\text U_{3}$ = 48 dan $\text U_{5}$ = 68, maka : ${\text U_{\text n} = \text a~.~\text r^{\text n - 1}}$

Untuk $\text U_{3}$ = 48, maka $\text U_{3} = \text a~.~\text r^2 = 48$

Untuk $\text U_{5} = 68$ , maka :

⇔ $68 = \text a ~.~\text r^{5 -1}$

⇔ $68 = \text a ~.~\text r^{4}$

⇔ $68 = (\text a ~.~\text r^{2})~.~\text r^{2}$

⇔ $68 = (48)~.~\text r^{2}$

⇔ $\text r^2 = \frac{68}{48}$

⇔ $\text r =\sqrt{ \frac{17}{12}}$

Menentukan nilai a

$\text U_{3}$ = 48

⇔ $48 = \text a~.~(\sqrt{ \frac{17}{12}}~)^2$

⇔ $48 = \text a~.~\frac{17}{12}$

⇔ $\text a = 48 ~.~\frac{12}{17}$

⇔ $\text a = \frac{576}{17}$

Untuk $\text a = \frac{576}{17}$ , $\text r =\sqrt{ \frac{17}{12}}$ dan n = 4, maka $\text S_{4}$ dapat ditentukan dengan rumus $\text S_{\text n} = \frac{\text a~.~(\text r^{\text n} - 1)}{(\text r - 1)}$

⇔ $\text S_{4} = \frac{\frac{576}{12} ~.~(\sqrt{\frac{17}{12} } ^{~4} - 1)}{(\sqrt{\frac{17}{12} } - 1)}$

⇔ $\text S_{4} = \frac{\frac{576}{12} ~.~({\frac{17^2}{12^2} } - 1)}{(\sqrt{\frac{17}{12} } - 1)}$

⇔ $\text S_{4} = \frac{\frac{576}{12} ~.~({\frac{289}{144} } - 1)}{(\sqrt{\frac{17}{12} } - 1)}$

⇔ $\text S_{4} = \frac{\frac{576}{12} ~.~{\frac{145}{144} }}{(\sqrt{\frac{17}{12} } - 1)}$

⇔ $\text S_{4} = \frac{\frac{576}{12} ~.~{\frac{145}{144} }}{(\sqrt{\frac{17}{12} } - 1)} \times \frac{(\sqrt{\frac{17}{12} } + 1)}{(\sqrt{\frac{17}{12} } + 1)}$