1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Jika diketahui ΔABC adalah segitiga sembarang, a = CB, b

Berikut ini adalah pertanyaan dari natashargn pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika diketahui ΔABC adalah segitiga sembarang, a = CB, b = AC, c = AB dan D titik tengah AB, maka buktikan bahwa : CD² = ¹/₄ ( 2a² + 2b² − c² )note : ( di gambar )

mohon bantuannya yaa, terima kasihh
Jika diketahui ΔABC adalah segitiga sembarang, a = CB, b = AC, c = AB dan D titik tengah AB, maka buktikan bahwa : CD² = ¹/₄ ( 2a² + 2b² − c² ) note : ( di gambar ) mohon bantuannya yaa, terima kasihh

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Pembuktian Rumus Panjang Garis Berat Segitiga

Sesuai gambar pada soal, akan dibuktikan bahwa panjang garis berat segitiga tersebut, yaitu CD, dapat dinyatakan dengan:

\boxed{\ CD^2 = \frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)\ }

 

Cara Pertama: Dengan Aturan Cosinus

Garis CDmembagi sisiAB menjadi 2 bagian yang sama panjang, yaitu ADdanDB, sehingga AD=DB=\frac{1}{2}c.

Pertama-tama, kita perhatikan sudut-sudutnya terlebih dahulu.

\angle ADCmerupakan pelurus dari\angle BDC, sehingga berlaku:

m\angle{ADC}=180^{\circ}-m\angle{BDC}

Oleh karena itu:

\begin{aligned}\cos{m\angle{ADC}}&=\cos\left(180^{\circ}-m\angle{BDC}\right)\\\therefore\ \cos{m\angle{ADC}}&=-\cos{m\angle{BDC}}\end{aligned}

Pada \triangle{ADC}, berlaku aturan cosinus berikut ini.

\begin{aligned}b^2&=CD^2+AD^2-2\cdot{CD}\cdot{AD}\cos{m\angle{ADC}}\\&=CD^2+\left(\frac{1}{2}c\right)^2-\cancel{2}\cdot{CD}\cdot{\frac{1}{\cancel{2}}c}\left(-\cos{m\angle{BDC}}\right)\\\therefore\ b^2&=CD^2+\frac{1}{4}c^2+CD\cdot c\cdot\cos{m\angle{BDC}}\quad...(i)\end{aligned}

Pada \triangle{BDC}, berlaku aturan cosinus berikut ini.

\begin{aligned}a^2&=CD^2+DB^2-2\cdot{CD}\cdot{DB}\cos{m\angle{BDC}}\\&=CD^2+\left(\frac{1}{2}c\right)^2-\cancel{2}\cdot{CD}\cdot{\frac{1}{\cancel{2}}c}\cdot\cos{m\angle{BDC}}\\\therefore\ a^2&=CD^2+\frac{1}{4}c^2-CD\cdot c\cdot\cos{m\angle{BDC}}\quad...(ii)\end{aligned}

Jumlahkan persamaan (i)dan(ii).

\begin{aligned}&b^2=CD^2+\frac{1}{4}c^2+\cancel{CD\cdot c\cdot\cos{m\angle{BDC}}}\\&\underline{a^2=CD^2+\frac{1}{4}c^2-\cancel{CD\cdot c\cdot\cos{m\angle{BDC}}}}\ +\\&a^2+b^2=2CD^2+\frac{1}{2}c^2\\&\rightsquigarrow 2CD^2=a^2+b^2-\frac{1}{2}c^2\\&\rightsquigarrow 4CD^2=2a^2+2b^2-c^2\\&\therefore\ \boxed{\ CD^2=\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)\ }\end{aligned}

⇒ TERBUKTI

\blacksquare

 

Cara Kedua: Dengan Dalil Stewart

Teorema/Dalil Stewart menyatakan hubungan antara sisi-sisi pada segitiga dengan panjang ruas garis yang menghubungkan titik sudut dengan sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut.

Disesuaikan dengan gambar pada pernyataan, sesuai dengan dalil Stewart, berlaku:

a^2\cdot{AD}+b^2\cdot{DB}=CD^2\cdot{c}+AD\cdot{DB}\cdot{c}

Sehingga:

\begin{aligned}&a^2\cdot\frac{1}{2}c+b^2\cdot\frac{1}{2}c=CD^2\cdot{c}+\frac{1}{2}c\cdot\frac{1}{2}c\cdot{c}\\&\rightsquigarrow\frac{1}{2}c\left(a^2+b^2\right)=CD^2\cdot{c}+\frac{1}{4}c^2\cdot{c}\\&\quad...\ \textsf{kedua ruas dibagi }c\\&\rightsquigarrow\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)=CD^2+\frac{1}{4}c^2\\&\rightsquigarrow CD^2=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)-\frac{1}{4}c^2\\&\therefore\ \boxed{\ CD^2=\frac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)\ }\end{aligned}

⇒ TERBUKTI

\blacksquare

 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 05 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>