Tolong bantu saya...

Berikut ini adalah pertanyaan dari Stoute pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

Persamaan yang ingin dibuktikan:
$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}(2i-1)^2=\frac{1}{3}n\left(4n^2-1\right)\end{aligned}$
 

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Langkah Dasar (Basis Induksi)

Untuk $n=1$ :
$\begin{aligned}(2(1)-1)^2&=\frac{1}{3}(1)\left(4\left(1^2\right)-1\right)\\\Rightarrow\ 1&=1\end{aligned}$
merupakan pernyataan yang benar.

Asumsi (Hipotesis)

Andaikan benar untuk $n = k$ , yaitu
$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{k}(2i-1)^2=\frac{1}{3}k\left(4k^2-1\right)\end{aligned}$
maka harus ditunjukkan benar pula untuk $n=k+1$ , yaitu
$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)^2=\frac{1}{3}(k+1)\left(4(k+1)^2-1\right)\end{aligned}$

Langkah Induksi

$\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}=\boxed{\,\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)^2\,}\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\sum_{i=1}^{k}(2i-1)^2+\sum_{i=k+1}^{k+1}(2i-1)^2\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\frac{1}{3}k\left(4k^2-1\right)+\left[2(k+1)-1\right]^2\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&{\rm Ambil\ }m=k+1\\&\Rightarrow k=m-1\end{aligned}\right.\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\frac{1}{3}(m-1)\left(4(m-1)^2-1\right)+(2m-1)^2\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\frac{1}{3}\big[(m-1)\left(4(m-1)^2-1\right)+3(2m-1)^2\big]\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\quad\left[\ \begin{aligned}4(m-1)^2-1&=4\left(m^2-2m+1\right)-1\\&=4m^2-8m+3\\&=(2m-1)(2m-3)\end{aligned}\right.\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\frac{1}{3}\big[(m-1)(2m-1)(2m-3)+3(2m-1)^2\big]\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\frac{1}{3}(2m-1)\big[(m-1)(2m-3)+3(2m-1)\big]\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\frac{1}{3}(2m-1)\big[2m^2-5m+3+6m-3\big]\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\frac{1}{3}(2m-1)\left(2m^2+m\right)\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\frac{1}{3}(2m-1)(m)(2m+1)\end{aligned}$
$\begin{aligned}\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\frac{1}{3}(m)(2m-1)(2m+1)\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\frac{1}{3}(m)\left(4m^2-1\right)\\&\quad\left[\ \begin{aligned}\text{Substitusi $m\leftarrow k+1$ kembali.}\end{aligned}\right.\\\vphantom{\Bigg|}&{=\ }\boxed{\,\frac{1}{3}(k+1)\left(4(k+1)^2-1\right)\,}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan.}\end{aligned}$
⇒ terbukti!

KESIMPULAN

Telah ditunjukkan bahwa basis induksi terbukti benar, dan dengan asumsi (hipotesis) yang ditetapkan untuk sembarang nilai $n=k$ dengan $n,k\in \mathbb{N}$ , persamaan berlaku pula untuk $n = k+1$ .
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:
$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}(2i-1)^2=\frac{1}{3}n\left(4n^2-1\right)\end{aligned}$
benar dan berlakuuntuk $n\in \mathbb{N}$ ( $n$ bilangan asli).