Tentukan 4^161 + 6^361 mod 8

Berikut ini adalah pertanyaan dari gameprjct2 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\left(4^{161}+6^{361}\right)\!\mod8\ =\ \bf0$

Pembahasan

Aritmetika Modular

Cara Pertama

$\begin{aligned}&\left(4^{161}+6^{361}\right)\!\mod8\\&{=\ }\left[\left(4^2\right)^{80}\cdot4\ +\ \left(6^2\right)^{180}\cdot6\right]\!\mod8\\&{=\ }\left[\left(16^{80}\cdot4\right)\!\!\mod8\ +\ \left(36^{180}\cdot6\right)\!\!\mod8\right]\!\mod8\\&{=\ }\Bigl[\left(16^{80}\!\mod8\right)(4\!\mod8)\\&\quad+\left(36^{180}\!\mod8\right)(6\!\mod8)\Bigr]\!\mod8\\&{=\ }\left[(16\!\mod8)^{80}(4)\ +\ (36\!\mod8)^{180}(2)\right]\!\mod8\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{=\ }\left[(0)(4)\ +\ \left(4^{180}\!\mod8\right)(2)\right]\!\mod8\\&{=\ }\left[0\ +\ \left(\left(4^2\right)^{90}\!\mod8\right)(2)\right]\!\mod8\\&{=\ }\left[0\ +\ \left(16^{90}\!\mod8\right)(2)\right]\!\mod8\\&{=\ }\left[0\ +\ (16\!\mod8)^{90}(2)\right]\!\mod8\\&{=\ }\left[0\ +\ 0^{90}(2)\right]\!\mod8\\&{=\ }(0+0)\!\mod8\\&{=\ }0\!\mod8\\&{=\ }\bf0\end{aligned}$

Cara Kedua

$\begin{aligned}&\left(4^{161}+6^{361}\right)\!\mod8\\&{=\ }\left(4^{161}\ +\ 6^{361}\right)\!\mod2^3\\&{=\ }\left(2^{322}\ +\ 2^{361}\cdot3^{361}\right)\!\mod2^3\\&{=\ }\left[\left(2^{321}\cdot2\right)\ +\ \left(2^{360}\cdot2\right)\cdot3^{361}\right]\!\mod2^3\\&{=\ }\Bigl[\left(2^{321}\!\mod2^3\right)\cdot\left(2\!\mod2^3\right)\\&\quad+\left(2^{360}\!\mod2^3\right)\cdot\left(2\!\mod2^3\right)\cdot\left(3^{361}\!\mod2^3\right)\Bigr]\!\mod2^3\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{=\ }\Bigl[\left(\left(2^3\right)^{107}\!\mod2^3\right)\cdot\left(2\!\mod2^3\right)\\&\quad+\left(\left(2^3\right)^{120}\!\mod2^3\right)\cdot\left(2\!\mod2^3\right)\cdot\left(3^{361}\!\mod2^3\right)\Bigr]\!\mod2^3\\&{=\ }\left[(0)\cdot\left(2\!\mod2^3\right)\ +\ (0)\cdot\left(2\!\mod2^3\right)\cdot\left(3^{361}\!\mod2^3\right)\right]\!\mod2^3\\&{=\ }(0+0)\!\mod2^3\\&{=\ }0\!\mod2^3\\&{=\ }\bf0\end{aligned}$