tolong di bantu soal berikut

Berikut ini adalah pertanyaan dari wirabekasi524 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong di bantu soal berikut

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(5x-2-\sqrt{9x^2-18x+1}-\sqrt{4x^2+12x+3}\right)\\&=\ \boxed{\,\bf{-}2\,}\end{aligned}$
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk limit tak hingga bentuk akar seperti pada soal ini, rumus cepat yang dapat kita gunakan adalah:

$\begin{aligned}&\lim_{x\to \infty }\left(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}\right)\\&=\left\{\begin{aligned}&\infty,&&{\sf\ jika\ }a > p\\&\frac{b-q}{2\sqrt{a}},&&{\sf\ jika\ }a = p\\&-\infty,&&{\sf\ jika\ }a < p\\\end{aligned}\right.\end{aligned}$

Penyelesaian

$\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(5x-2-\sqrt{9x^2-18x+1}-\sqrt{4x^2+12x+3}\right)\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(5x-\sqrt{9x^2-18x+1}-\sqrt{4x^2+12x+3}\right)-\lim_{x\to\infty}2\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(5x-\sqrt{9x^2-18x+1}-\sqrt{4x^2+12x+3}\right)-2\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(3x+2x-\sqrt{9x^2-18x+1}-\sqrt{4x^2+12x+3}\right)-2\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(3x-\sqrt{9x^2-18x+1}+2x-\sqrt{4x^2+12x+3}\right)-2\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^2}-\sqrt{9x^2-18x+1}+\sqrt{4x^2}-\sqrt{4x^2+12x+3}\right)-2\\{=\ }&\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^2}-\sqrt{9x^2-18x+1}\right)+\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2}-\sqrt{4x^2+12x+3}\right)-2\\&\quad\left[\begin{array}{l}a=9,\ b=c=0\\p=9,\ q=-18,\ r=1\\\Rightarrow a=p\end{array}\right]\qquad\left[\begin{array}{l}a=4,\ b=c=0\\p=4,\ q=12,\ r=3\\\Rightarrow a=p\end{array}\right]\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\frac{0-(-18)}{2\sqrt{9}}+\frac{0-12}{2\sqrt{4}}-2\\{=\ }&\frac{18}{6}+\frac{-12}{4}-2\\{=\ }&3+(-3)-2\\{=\ }&0-2\\{=\ }&\boxed{\,\bf{-}2\,}\end{aligned}$
$\blacksquare$