Tentukan interval dimana fungsi p(x) = x - 2 cos²

Berikut ini adalah pertanyaan dari loneranger25 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan interval dimana fungsi p(x) = x - 2 cos² x naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah pada interval 0 ≤ x ≤ 2π*penyelesaiannya boleh ditulis di kertas maupun diketik

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diberikan fungsi: p(x) = x - 2 cos² x.

p(x) naik pada interval:
${0 \le x < \dfrac{7\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{11\pi}{12} < x < \dfrac{19\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{23\pi}{12} < x \le 2\pi}$
p(x) turun pada interval:
${\dfrac{7\pi}{12} < x < \dfrac{11\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{19\pi}{12} < x < \dfrac{23\pi}{12}}$
p(x) cekung ke atas pada interval:
$0 \le x < \dfrac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{3\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{7\pi}{4} < x \le 2\pi$
p(x) cekung ke bawah pada interval:
$\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{3\pi}{4} {\sf atau\:\ } \dfrac{5\pi}{4} < x < \dfrac{7\pi}{4}$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan grafik/kurva sebuah fungsi f(x) naik atau turun:

Jika f'(x) > 0, maka f(x) naik.
Jika f'(x) < 0, maka f(x) turun.

Untuk menentukan grafik/kurva sebuah fungsi f(x) cekung ke atas atau cekung ke bawah:

Jika f''(x) > 0, maka f(x) cekung ke atas.
Jika f''(x) < 0, maka f(x) cekung ke bawah.

Turunan pertama dan kedua dari p(x)

$\begin{aligned}p(x) &= x - 2\cos^2x\\p'(x) &= \left(x - 2\cos^2x\right)'\\&= 1 - 2\left(\cos^2x\right)'\\&= 1 - 2\cdot2\cos x(\cos x)'\\&= 1 - 2\cdot2\cos x(-\sin x)\\&= 1 + 2\cdot2\sin x\cos x\\p'(x) &= 1 + 2\sin2x\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}p''(x) &= \left(1 + 2\sin2x\right)'\\&= 0 + 2\left(\sin2x\right)'\\&= 2\cos2x\left(2x\right)'\\p''(x) &= 4\cos2x\\\end{aligned}$

Interval di mana p(x) naik

$\begin{aligned}&p'(x) > 0\\&\Rightarrow 1 + 2\sin2x > 0\\&\Rightarrow 2\sin2x > -1\\&\Rightarrow \sin 2x > -\frac{1}{2}\\&\Rightarrow -\frac{\pi}{6}+2\pi n < 2x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\\&\Rightarrow -\frac{\pi}{12}+\pi n < x < \frac{7\pi}{12} + \pi n\\&\quad\bullet\ n=0:-\frac{\pi}{12} < x < \frac{7\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=1:\frac{11\pi}{12} < x < \frac{19\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=3:\frac{23\pi}{12} < x < \frac{31\pi}{12}\\\end{aligned}$

Batas terkecil interval yang dievaluasi adalah $x = 0$ , dan batas terbesar interval yang dievaluasi adalah $x = 2\pi$ .

Maka, interval yang memenuhi adalah:
${0 \le x < \dfrac{7\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{11\pi}{12} < x < \dfrac{19\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{23\pi}{12} < x \le 2\pi}$

Interval di mana p(x) turun

Karena sifat grafik fungsi p(x) = x - 2 cos² x yang naik dan turun secara bergantian, maka dari hasil di atas kita sudah dapat menentukan interval di mana p(x) turun, yaitu komplemen dari interval di mana p(x) naik, pada interval 0 ≤ x ≤ 2π.

Namun, kita kerjakan saja seperti cara di atas.

$\begin{aligned}&\Rightarrow 1 + 2\sin2x < 0\\&\Rightarrow 2\sin2x < -1\\&\Rightarrow \sin 2x < -\frac{1}{2}\\&\Rightarrow \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\\&\Rightarrow \frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{11\pi}{12} + \pi n\\&\quad\bullet\ n=0:\frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=1:\frac{19\pi}{12} < x < \frac{23\pi}{12}\\\end{aligned}$

Maka, interval yang memenuhi adalah:
${\dfrac{7\pi}{12} < x < \dfrac{11\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{19\pi}{12} < x < \dfrac{23\pi}{12}}$

Interval di mana p(x) cekung ke atas

Kita langsung batasi interval yang dievaluasi.

$\begin{aligned}&p''(x) > 0\\&\Rightarrow 4\cos2x > 0\\&\Rightarrow \cos2x > 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x-1 > 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x > 1\\&\Rightarrow \cos^2x > \frac{1}{2}\\&\Rightarrow \cos x > \frac{1}{2}\sqrt{2}{\sf\ \:atau\:\ }\cos x < -\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\quad\bullet\ \cos x > \frac{1}{2}\sqrt{2}:\\&\qquad\Rightarrow 0 < x < \frac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi\\&\quad\bullet\ \cos x < -\frac{1}{2}\sqrt{2}:\\&\qquad\Rightarrow \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}\end{aligned}$

Batas terkecil interval yang dievaluasi adalah $x = 0$ , dan batas terbesar interval yang dievaluasi adalah $x = 2\pi$ .

Maka, interval yang memenuhi adalah:
$0 \le x < \dfrac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{3\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{7\pi}{4} < x \le 2\pi$

Interval di mana p(x) cekung ke bawah

Serupa dengan menentukan interval di mana p(x) turun, untuk kasus ini, kita dapat mengevaluasi intervalnya berdasarkan interval di mana p(x) cekung ke atas.

Namun, kita kerjakan saja seperti cara di atas.

$\begin{aligned}&\Rightarrow 4\cos2x < 0\\&\Rightarrow \cos2x < 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x-1 < 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x < 1\\&\Rightarrow \cos^2x < \frac{1}{2}\\&\Rightarrow -\frac{1}{2}\sqrt{2} < \cos x < \frac{1}{2}\sqrt{2}\\&\Rightarrow \frac{\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{3\pi}{4}+2\pi n\\&\quad{\sf atau\:\ }\frac{5\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{4}+2\pi n\end{aligned}$

Maka, interval yang memenuhi adalah:
$\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{3\pi}{4} {\sf atau\:\ } \dfrac{5\pi}{4} < x < \dfrac{7\pi}{4}$

$\blacksquare$

$Diberikan fungsi: p(x) = x - 2 cos² x.p(x) naik pada interval:[tex]{0 \le x < \dfrac{7\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{11\pi}{12} < x < \dfrac{19\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{23\pi}{12} < x \le 2\pi}[/tex]p(x) turun pada interval:[tex]{\dfrac{7\pi}{12} < x < \dfrac{11\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{19\pi}{12} < x < \dfrac{23\pi}{12}}[/tex]p(x) cekung ke atas pada interval:[tex]0 \le x < \dfrac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{3\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{7\pi}{4} < x \le 2\pi[/tex]p(x) cekung ke bawah pada interval:[tex]\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{3\pi}{4} {\sf atau\:\ } \dfrac{5\pi}{4} < x < \dfrac{7\pi}{4}[/tex]Penjelasan dengan langkah-langkah:Untuk menentukan grafik/kurva sebuah fungsi f(x) naik atau turun:Jika f'(x) > 0, maka f(x) naik.Jika f'(x) < 0, maka f(x) turun.Untuk menentukan grafik/kurva sebuah fungsi f(x) cekung ke atas atau cekung ke bawah:Jika f''(x) > 0, maka f(x) cekung ke atas.Jika f''(x) < 0, maka f(x) cekung ke bawah.Turunan pertama dan kedua dari p(x)[tex]\begin{aligned}p(x) &= x - 2\cos^2x\\p'(x) &= \left(x - 2\cos^2x\right)'\\&= 1 - 2\left(\cos^2x\right)'\\&= 1 - 2\cdot2\cos x(\cos x)'\\&= 1 - 2\cdot2\cos x(-\sin x)\\&= 1 + 2\cdot2\sin x\cos x\\p'(x) &= 1 + 2\sin2x\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}p''(x) &= \left(1 + 2\sin2x\right)'\\&= 0 + 2\left(\sin2x\right)'\\&= 2\cos2x\left(2x\right)'\\p''(x) &= 4\cos2x\\\end{aligned}[/tex]Interval di mana p(x) naik[tex]\begin{aligned}&p'(x) > 0\\&\Rightarrow 1 + 2\sin2x > 0\\&\Rightarrow 2\sin2x > -1\\&\Rightarrow \sin 2x > -\frac{1}{2}\\&\Rightarrow -\frac{\pi}{6}+2\pi n < 2x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\\&\Rightarrow -\frac{\pi}{12}+\pi n < x < \frac{7\pi}{12} + \pi n\\&\quad\bullet\ n=0:-\frac{\pi}{12} < x < \frac{7\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=1:\frac{11\pi}{12} < x < \frac{19\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=3:\frac{23\pi}{12} < x < \frac{31\pi}{12}\\\end{aligned}[/tex]Batas terkecil interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 0[/tex], dan batas terbesar interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 2\pi[/tex]. Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]{0 \le x < \dfrac{7\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{11\pi}{12} < x < \dfrac{19\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{23\pi}{12} < x \le 2\pi}[/tex]Interval di mana p(x) turunKarena sifat grafik fungsi p(x) = x - 2 cos² x yang naik dan turun secara bergantian, maka dari hasil di atas kita sudah dapat menentukan interval di mana p(x) turun, yaitu komplemen dari interval di mana p(x) naik, pada interval 0 ≤ x ≤ 2π.Namun, kita kerjakan saja seperti cara di atas.[tex]\begin{aligned}&\Rightarrow 1 + 2\sin2x < 0\\&\Rightarrow 2\sin2x < -1\\&\Rightarrow \sin 2x < -\frac{1}{2}\\&\Rightarrow \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\\&\Rightarrow \frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{11\pi}{12} + \pi n\\&\quad\bullet\ n=0:\frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=1:\frac{19\pi}{12} < x < \frac{23\pi}{12}\\\end{aligned}[/tex]Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]{\dfrac{7\pi}{12} < x < \dfrac{11\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{19\pi}{12} < x < \dfrac{23\pi}{12}}[/tex]Interval di mana p(x) cekung ke atasKita langsung batasi interval yang dievaluasi.[tex]\begin{aligned}&p''(x) > 0\\&\Rightarrow 4\cos2x > 0\\&\Rightarrow \cos2x > 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x-1 > 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x > 1\\&\Rightarrow \cos^2x > \frac{1}{2}\\&\Rightarrow \cos x > \frac{1}{2}\sqrt{2}{\sf\ \:atau\:\ }\cos x < -\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&\quad\bullet\ \cos x > \frac{1}{2}\sqrt{2}:\\&\qquad\Rightarrow 0 < x < \frac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi\\&\quad\bullet\ \cos x < -\frac{1}{2}\sqrt{2}:\\&\qquad\Rightarrow \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}\end{aligned}[/tex]Batas terkecil interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 0[/tex], dan batas terbesar interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 2\pi[/tex]. Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]0 \le x < \dfrac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{3\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{7\pi}{4} < x \le 2\pi[/tex]Interval di mana p(x) cekung ke bawahSerupa dengan menentukan interval di mana p(x) turun, untuk kasus ini, kita dapat mengevaluasi intervalnya berdasarkan interval di mana p(x) cekung ke atas.Namun, kita kerjakan saja seperti cara di atas.[tex]\begin{aligned}&\Rightarrow 4\cos2x < 0\\&\Rightarrow \cos2x < 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x-1 < 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x < 1\\&\Rightarrow \cos^2x < \frac{1}{2}\\&\Rightarrow -\frac{1}{2}\sqrt{2} < \cos x < \frac{1}{2}\sqrt{2}\\&\Rightarrow \frac{\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{3\pi}{4}+2\pi n\\&\quad{\sf atau\:\ }\frac{5\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{4}+2\pi n\end{aligned}[/tex]Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{3\pi}{4} {\sf atau\:\ } \dfrac{5\pi}{4} < x < \dfrac{7\pi}{4}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]$ $Diberikan fungsi: p(x) = x - 2 cos² x.p(x) naik pada interval:[tex]{0 \le x < \dfrac{7\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{11\pi}{12} < x < \dfrac{19\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{23\pi}{12} < x \le 2\pi}[/tex]p(x) turun pada interval:[tex]{\dfrac{7\pi}{12} < x < \dfrac{11\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{19\pi}{12} < x < \dfrac{23\pi}{12}}[/tex]p(x) cekung ke atas pada interval:[tex]0 \le x < \dfrac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{3\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{7\pi}{4} < x \le 2\pi[/tex]p(x) cekung ke bawah pada interval:[tex]\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{3\pi}{4} {\sf atau\:\ } \dfrac{5\pi}{4} < x < \dfrac{7\pi}{4}[/tex]Penjelasan dengan langkah-langkah:Untuk menentukan grafik/kurva sebuah fungsi f(x) naik atau turun:Jika f'(x) > 0, maka f(x) naik.Jika f'(x) < 0, maka f(x) turun.Untuk menentukan grafik/kurva sebuah fungsi f(x) cekung ke atas atau cekung ke bawah:Jika f''(x) > 0, maka f(x) cekung ke atas.Jika f''(x) < 0, maka f(x) cekung ke bawah.Turunan pertama dan kedua dari p(x)[tex]\begin{aligned}p(x) &= x - 2\cos^2x\\p'(x) &= \left(x - 2\cos^2x\right)'\\&= 1 - 2\left(\cos^2x\right)'\\&= 1 - 2\cdot2\cos x(\cos x)'\\&= 1 - 2\cdot2\cos x(-\sin x)\\&= 1 + 2\cdot2\sin x\cos x\\p'(x) &= 1 + 2\sin2x\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}p''(x) &= \left(1 + 2\sin2x\right)'\\&= 0 + 2\left(\sin2x\right)'\\&= 2\cos2x\left(2x\right)'\\p''(x) &= 4\cos2x\\\end{aligned}[/tex]Interval di mana p(x) naik[tex]\begin{aligned}&p'(x) > 0\\&\Rightarrow 1 + 2\sin2x > 0\\&\Rightarrow 2\sin2x > -1\\&\Rightarrow \sin 2x > -\frac{1}{2}\\&\Rightarrow -\frac{\pi}{6}+2\pi n < 2x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\\&\Rightarrow -\frac{\pi}{12}+\pi n < x < \frac{7\pi}{12} + \pi n\\&\quad\bullet\ n=0:-\frac{\pi}{12} < x < \frac{7\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=1:\frac{11\pi}{12} < x < \frac{19\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=3:\frac{23\pi}{12} < x < \frac{31\pi}{12}\\\end{aligned}[/tex]Batas terkecil interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 0[/tex], dan batas terbesar interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 2\pi[/tex]. Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]{0 \le x < \dfrac{7\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{11\pi}{12} < x < \dfrac{19\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{23\pi}{12} < x \le 2\pi}[/tex]Interval di mana p(x) turunKarena sifat grafik fungsi p(x) = x - 2 cos² x yang naik dan turun secara bergantian, maka dari hasil di atas kita sudah dapat menentukan interval di mana p(x) turun, yaitu komplemen dari interval di mana p(x) naik, pada interval 0 ≤ x ≤ 2π.Namun, kita kerjakan saja seperti cara di atas.[tex]\begin{aligned}&\Rightarrow 1 + 2\sin2x < 0\\&\Rightarrow 2\sin2x < -1\\&\Rightarrow \sin 2x < -\frac{1}{2}\\&\Rightarrow \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\\&\Rightarrow \frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{11\pi}{12} + \pi n\\&\quad\bullet\ n=0:\frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=1:\frac{19\pi}{12} < x < \frac{23\pi}{12}\\\end{aligned}[/tex]Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]{\dfrac{7\pi}{12} < x < \dfrac{11\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{19\pi}{12} < x < \dfrac{23\pi}{12}}[/tex]Interval di mana p(x) cekung ke atasKita langsung batasi interval yang dievaluasi.[tex]\begin{aligned}&p''(x) > 0\\&\Rightarrow 4\cos2x > 0\\&\Rightarrow \cos2x > 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x-1 > 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x > 1\\&\Rightarrow \cos^2x > \frac{1}{2}\\&\Rightarrow \cos x > \frac{1}{2}\sqrt{2}{\sf\ \:atau\:\ }\cos x < -\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&\quad\bullet\ \cos x > \frac{1}{2}\sqrt{2}:\\&\qquad\Rightarrow 0 < x < \frac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi\\&\quad\bullet\ \cos x < -\frac{1}{2}\sqrt{2}:\\&\qquad\Rightarrow \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}\end{aligned}[/tex]Batas terkecil interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 0[/tex], dan batas terbesar interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 2\pi[/tex]. Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]0 \le x < \dfrac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{3\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{7\pi}{4} < x \le 2\pi[/tex]Interval di mana p(x) cekung ke bawahSerupa dengan menentukan interval di mana p(x) turun, untuk kasus ini, kita dapat mengevaluasi intervalnya berdasarkan interval di mana p(x) cekung ke atas.Namun, kita kerjakan saja seperti cara di atas.[tex]\begin{aligned}&\Rightarrow 4\cos2x < 0\\&\Rightarrow \cos2x < 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x-1 < 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x < 1\\&\Rightarrow \cos^2x < \frac{1}{2}\\&\Rightarrow -\frac{1}{2}\sqrt{2} < \cos x < \frac{1}{2}\sqrt{2}\\&\Rightarrow \frac{\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{3\pi}{4}+2\pi n\\&\quad{\sf atau\:\ }\frac{5\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{4}+2\pi n\end{aligned}[/tex]Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{3\pi}{4} {\sf atau\:\ } \dfrac{5\pi}{4} < x < \dfrac{7\pi}{4}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]$ $Diberikan fungsi: p(x) = x - 2 cos² x.p(x) naik pada interval:[tex]{0 \le x < \dfrac{7\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{11\pi}{12} < x < \dfrac{19\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{23\pi}{12} < x \le 2\pi}[/tex]p(x) turun pada interval:[tex]{\dfrac{7\pi}{12} < x < \dfrac{11\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{19\pi}{12} < x < \dfrac{23\pi}{12}}[/tex]p(x) cekung ke atas pada interval:[tex]0 \le x < \dfrac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{3\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{7\pi}{4} < x \le 2\pi[/tex]p(x) cekung ke bawah pada interval:[tex]\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{3\pi}{4} {\sf atau\:\ } \dfrac{5\pi}{4} < x < \dfrac{7\pi}{4}[/tex]Penjelasan dengan langkah-langkah:Untuk menentukan grafik/kurva sebuah fungsi f(x) naik atau turun:Jika f'(x) > 0, maka f(x) naik.Jika f'(x) < 0, maka f(x) turun.Untuk menentukan grafik/kurva sebuah fungsi f(x) cekung ke atas atau cekung ke bawah:Jika f''(x) > 0, maka f(x) cekung ke atas.Jika f''(x) < 0, maka f(x) cekung ke bawah.Turunan pertama dan kedua dari p(x)[tex]\begin{aligned}p(x) &= x - 2\cos^2x\\p'(x) &= \left(x - 2\cos^2x\right)'\\&= 1 - 2\left(\cos^2x\right)'\\&= 1 - 2\cdot2\cos x(\cos x)'\\&= 1 - 2\cdot2\cos x(-\sin x)\\&= 1 + 2\cdot2\sin x\cos x\\p'(x) &= 1 + 2\sin2x\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}p''(x) &= \left(1 + 2\sin2x\right)'\\&= 0 + 2\left(\sin2x\right)'\\&= 2\cos2x\left(2x\right)'\\p''(x) &= 4\cos2x\\\end{aligned}[/tex]Interval di mana p(x) naik[tex]\begin{aligned}&p'(x) > 0\\&\Rightarrow 1 + 2\sin2x > 0\\&\Rightarrow 2\sin2x > -1\\&\Rightarrow \sin 2x > -\frac{1}{2}\\&\Rightarrow -\frac{\pi}{6}+2\pi n < 2x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\\&\Rightarrow -\frac{\pi}{12}+\pi n < x < \frac{7\pi}{12} + \pi n\\&\quad\bullet\ n=0:-\frac{\pi}{12} < x < \frac{7\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=1:\frac{11\pi}{12} < x < \frac{19\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=3:\frac{23\pi}{12} < x < \frac{31\pi}{12}\\\end{aligned}[/tex]Batas terkecil interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 0[/tex], dan batas terbesar interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 2\pi[/tex]. Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]{0 \le x < \dfrac{7\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{11\pi}{12} < x < \dfrac{19\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{23\pi}{12} < x \le 2\pi}[/tex]Interval di mana p(x) turunKarena sifat grafik fungsi p(x) = x - 2 cos² x yang naik dan turun secara bergantian, maka dari hasil di atas kita sudah dapat menentukan interval di mana p(x) turun, yaitu komplemen dari interval di mana p(x) naik, pada interval 0 ≤ x ≤ 2π.Namun, kita kerjakan saja seperti cara di atas.[tex]\begin{aligned}&\Rightarrow 1 + 2\sin2x < 0\\&\Rightarrow 2\sin2x < -1\\&\Rightarrow \sin 2x < -\frac{1}{2}\\&\Rightarrow \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\\&\Rightarrow \frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{11\pi}{12} + \pi n\\&\quad\bullet\ n=0:\frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12}\\&\quad\bullet\ n=1:\frac{19\pi}{12} < x < \frac{23\pi}{12}\\\end{aligned}[/tex]Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]{\dfrac{7\pi}{12} < x < \dfrac{11\pi}{12}}{\sf\ \:atau\:\ }{\dfrac{19\pi}{12} < x < \dfrac{23\pi}{12}}[/tex]Interval di mana p(x) cekung ke atasKita langsung batasi interval yang dievaluasi.[tex]\begin{aligned}&p''(x) > 0\\&\Rightarrow 4\cos2x > 0\\&\Rightarrow \cos2x > 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x-1 > 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x > 1\\&\Rightarrow \cos^2x > \frac{1}{2}\\&\Rightarrow \cos x > \frac{1}{2}\sqrt{2}{\sf\ \:atau\:\ }\cos x < -\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&\quad\bullet\ \cos x > \frac{1}{2}\sqrt{2}:\\&\qquad\Rightarrow 0 < x < \frac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi\\&\quad\bullet\ \cos x < -\frac{1}{2}\sqrt{2}:\\&\qquad\Rightarrow \frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}\end{aligned}[/tex]Batas terkecil interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 0[/tex], dan batas terbesar interval yang dievaluasi adalah [tex]x = 2\pi[/tex]. Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]0 \le x < \dfrac{\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{3\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}{\sf\ \:atau\:\ }\dfrac{7\pi}{4} < x \le 2\pi[/tex]Interval di mana p(x) cekung ke bawahSerupa dengan menentukan interval di mana p(x) turun, untuk kasus ini, kita dapat mengevaluasi intervalnya berdasarkan interval di mana p(x) cekung ke atas.Namun, kita kerjakan saja seperti cara di atas.[tex]\begin{aligned}&\Rightarrow 4\cos2x < 0\\&\Rightarrow \cos2x < 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x-1 < 0\\&\Rightarrow 2\cos^2x < 1\\&\Rightarrow \cos^2x < \frac{1}{2}\\&\Rightarrow -\frac{1}{2}\sqrt{2} < \cos x < \frac{1}{2}\sqrt{2}\\&\Rightarrow \frac{\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{3\pi}{4}+2\pi n\\&\quad{\sf atau\:\ }\frac{5\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{7\pi}{4}+2\pi n\end{aligned}[/tex]Maka, interval yang memenuhi adalah:[tex]\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{3\pi}{4} {\sf atau\:\ } \dfrac{5\pi}{4} < x < \dfrac{7\pi}{4}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 25 Feb 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Tentukan interval dimana fungsi p(x) = x - 2 cos²

Jawaban dan Penjelasan

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika