Luas Segi - 12

Secara teoritis setiap benda yang bersifat radial atau memiliki jari-jari pada suatu pusat tertentu, besar sudutnya akan selalu sama, yaitu 360°

Segi - 12, maka akan terdiri dari 12 sisi dengan jumlah sudut berjumlah 12 juga,

Sehingga jika kita ambil satu partisi akan didapat nilai sudut dari masing-masing partisi pada sebuah segi - 12 beraturan adalah senilai 360/12 = 30°

Jika kita lihat secara seksama, segi - 12 merupakan suatu susunan segitiga yang luasnya sama besar sejumlah 12,

Maka, secara matematis bisa kita tuliskan menjadi,

Lt = 12 x A

Dimana A adalah luas segitiga penyusun segi - 12,

Sekarang kita akan meninjau satu segitiga terlebih dahulu,

Jika kita lihat bahwa segitiga tersebut merupakan segitiga sama kaki, dengan sudut terlancipnya adalah bernilai 30°, maka jika kita ambil garis tegak lurus menuju alas segitiga, kita sama saja seperti membagi kedua sudut tersebut menjadi sama besar, yaitu 15°.

Sekarang kita akan mencari nilai dari sisi hipotenusa, alas, dan tinggi dengan menggunakan prinsip trigonometri sederhana.

Jika kita memiliki nilai dari sudut 15°, maka bisa kita gunakan identitas trigonometri, misal kita ingin mencari nilai dari sinus,

sin 15 ≡ sin ( 45 - 30 )

Berdasarkan rumus identitas,

sin ( a - b ) = sin a cos b - cos a sin b

Maka,

Didapatlah sebuah nilai,

sin 15° = sin 45 cos 30 - cos 45 sin 30 = 1/2 √2 . 1/2 √3 - 1/2 √2 . 1/2

∴ sin 15° = 1/4 ( √6 - √2 )

atau bisa kita tuliskan menjadi,

= ( √6 - √2 ) / 4

Bisa kita tahu bahwa sin adalah rasio antara sisi depan sudut dengan sisi miringnya,

Nah jika kita ketahui, pada soal sisi miring senilai dengan jari-jari, maka kita bisa mengambil perbandingan sederhana, yaitu

( √6 - √2 ) / 4x = Maka agar sisi miringnya bernilai 6 tanpa mengubah nilai keseluruhannya, atas dan bawah kita kalikan dengan 1.5

1.5 ( √6 - √2 ) / 6

Bisa kita ketahui bahwa depan sudut disini adalah senilai dengan 1/2 alas segitiga satu partisi penyusun segi - 12 tersebut,

Maka,

Alas Segitiga Satu Partisi adalah 3 ( √6 - √2 )

Sekarang kita akan mencari nilai dari tinggi segitiga tersebut, dengan menggunakan rumus cosinus,

cos 15 = cos ( 45 - 30 )

Bisa kita ketahui bahwa,

cos ( a - b ) = cos a cos b + sin a sin b

Maka,

cos 15 = cos 45 cos 30 + sin 45 sin 30 = 1/2 √2 . 1/2 √3 + 1/2 √2 . 1/2

∴ cos 15 = 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 ( √6 + √2 ) = ( √6 + √2 ) / 4

Kita akan melakukan langkah yang sama, yaitu mengalikan atas dan bawah dengan 1.5 agar mendapat nilai sisi miring senilai dengan jari-jarinya yaitu 6,

Maka,

1.5(√6 + √2) / 6

Sehingga didapat nilai dari tinggi segitiga tersebut adalah,

t = 1.5 ( √6 + √2 )

Kini kita bisa mencari luas segitiga tersebut, yaitu

1/2 . 3 ( √6 - √2 ) . 1.5 ( √6 + √2 ) = 1 . 2.25 ( 6 - 2 ) = 4 . 2.25 = 9cm²

Sekarang, kita akan mengalikan luas segitiga tersebut sesuai dengan jumlah sisi pada segi - 12, yaitu sebanyak 12 buah,

Maka,

A = 12 . 9 = 108cm²

Maka, luas dari segi - 12 tersebut adalah 108cm²