1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Pada ∆ PQR, panjang PQ = 5 cm dan PR

Berikut ini adalah pertanyaan dari daffiadjie pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Pada ∆ PQR, panjang PQ = 5 cm dan PR = 3 cm dan sudut QPR = 60°, jika PS adalah garis bagi sudut QPR, maka panjang PS = .... cm​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\large\text{$\begin{aligned}\bf PS=\frac{15}{8}\sqrt{3}\ cm\end{aligned}$}

 

Pembahasan

Garis Bagi Sudut pada Segitiga

Pada ΔPQR:

  • panjang PQ = a = 5 cm,
  • panjang PR = b = 3 cm,
  • panjang QR = c,
  • besar ∠QPR = 60°,
  • PS adalah garis bagi ∠QPR.

Dari data di atas, dapat kita tentukan:
α = besar ∠QPS = besar ∠SPR = ½·60° = 30°

Misalkan

  • m = panjang QS,
  • n = panjang SR,
  • x = panjang PS,

dengan aturan cosinus pada segitiga, untuk ΔQPS dan ΔSPR berlaku:

\begin{aligned}\bullet\ &m^2=a^2+x^2-2ax\cos\alpha\\\bullet\ &n^2=b^2+x^2-2bx\cos\alpha\\\end{aligned}

Berdasarkan teorema garis bagi sudut, pada ΔPQR berlaku:

\begin{aligned}&\frac{m}{n}=\frac{a}{b}\\&{\Rightarrow\ }\frac{m^2}{n^2}=\frac{a^2}{b^2}\\&{\Rightarrow\ }\frac{a^2+x^2-2ax\cos\alpha}{b^2+x^2-2bx\cos\alpha}=\frac{a^2}{b^2}\\&{\Rightarrow\ }a^2\left(b^2+x^2-2bx\cos\alpha\right)\\&{\quad}=b^2\left(a^2+x^2-2ax\cos\alpha\right)\\&{\Rightarrow\ }a^2b^2+a^2x^2-2a^2bx\cos\alpha\\&{\quad}=a^2b^2+b^2x^2-2ab^2x\cos\alpha\\&\textsf{... kedua ruas dikurangi }a^2b^2\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }a^2x^2-2a^2bx\cos\alpha\\&{\quad}=b^2x^2-2ab^2x\cos\alpha\\&{\Rightarrow\ }a^2x^2-b^2x^2\\&{\quad}-2a^2bx\cos\alpha+2ab^2x\cos\alpha=0\\&{\Rightarrow\ }x^2\left(a^2-b^2\right)-2abx\cos\alpha(a-b)=0\\&\textsf{... kedua ruas dibagi }x(a-b)\\&{\Rightarrow\ }x(a+b)-2ab\cos\alpha=0\end{aligned}

\large\text{$\begin{aligned}&{\therefore\ \ }\boxed{\ x=\frac{2ab\cos\alpha}{a+b}\ }\end{aligned}$}

 

Substitusi a dengan panjang PQ (5 cm), b dengan panjang PR (3 cm), dan α dengan 30°, kita memperoleh:

\large\text{$\begin{aligned}\bf PS&=x\\&=\frac{2\cdot5\cdot3\cdot\cos30^{\circ}}{5+3}\\&=\frac{30\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}}{8}\\&=\frac{15\sqrt{3}}{8}\\&=\boxed{\ \bf\frac{15}{8}\sqrt{3}\ cm\ }\\&\approx\boxed{\ \bf3{,}2476\ cm\ }\end{aligned}$}

 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 25 Jul 22
<< Previous Post
Next Post >>