Luas daerah yang dibatasi grafik y = (x-2)²+4 dan garis

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Luas daerah yang dibatasi grafik y = (x-2)²+4 dan garis y = px+2p adalah $\frac{20\sqrt{5} }{3}$ maka nilai dari 2p+1 adalah ...(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari 2p + 1 adalah 5.
(opsi C)

Pembahasan

Luas Daerah Antara Garis Lurus dan Parabola

Diberikan dua buah fungsi:

y = (x – 2)² + 4
y = px + 2p

Persamaan garis lurus tersebut dapat diubah bentuk menjadi:

y = p(x + 2) = p(x – 2 + 4)
⇒ y = p(x – 2) + 4p

Agar memiliki daerah tertutup di antara kedua grafik fungsi:
(x – 2)² + 4 = p(x – 2) + 4p
⇒ (x – 2)² – p(x – 2) + 4 – 4p = 0

Misalkan m = x – 2, maka:
⇒ m² – pm + 4 – 4p = 0 ....(i)
[ a = 1, b = –p, c = 4 – 4p ]

Nilai diskriminannya:

$\begin{aligned}D&=b^2-4ac\\&=(-p)^2-4\!\cdot\!1\!\cdot\!(4-4p)\\&=p^2+16p-16\end{aligned}$

Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi kuadrat (parabola) dan garis lurus, dapat dihitung dengan:

$\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\ L=\frac{D\sqrt{D}}{6a^2}\ }\end{aligned}$}$

Agar berpotongan di dua titik berbeda, D > 0, dan ini juga berarti bahwa akar-akar persamaan (i) adalah real.

Oleh karena itu, kita tidak perlu menghitung p secara langsung. Cukup dengan informasi luas yang diberikan dan variabel D saja, kita dapat mencoba sesuaikan ruas kanan dan kiri persamaan luas daerah tersebut.

Dengan $L = \dfrac{20\sqrt{5}}{3}$ , dapat diperoleh:

$\begin{aligned}\frac{20\sqrt{5}}{3}&=\frac{D\sqrt{D}}{6\cdot1^2}=\frac{D\sqrt{D}}{6}\\\frac{20\sqrt{5}}{\cancel{3}}&=\frac{\frac{1}{2}D\sqrt{D}}{\cancel{3}}\\20\sqrt{\frac{1}{4}\cdot20}&=D\sqrt{\frac{1}{4}D}\\\\\therefore\ \ D&=\bf20\end{aligned}$

Sehingga, sekarang kita dapat menentukan nilai p.

$\begin{aligned}&p^2+16p-16=20\\&\Rightarrow p^2+16p-36=0\\&\Rightarrow (p-2)(p+18)=0\\&\Rightarrow p={\bf2}\ \lor\ p=\bf-18\end{aligned}$

Kemudian, pertimbangkan arah dan posisi grafik parabola, serta posisi garis lurus.
y = (x – 2)² + 4 = x² – 4x + 8
⇒ parabola membuka ke atas, karena a > 0
⇒ memiliki nilai diskriminan: D < 0
⇒ definit positif, karena a > 0 dan D < 0

Sehingga, garis y = px + 2p harus memiliki nilai p > 0, karena:

titik potong dengan sumbu-x ada di (–2, 0),
garis harus memiliki gradien positif agar berpotongan dengan parabola yang definit positif.

Oleh karena itu, p = 2.

Dan karenanya, 2p + 1 = 5.

KESIMPULAN

∴ Nilai dari 2p + 1 adalah 5.

 
_____________________

APPENDIX

Darimana rumus cepat L = (D√D)/(6a²) tersebut diperoleh?

Kasus pertama: daerah antara garis lurus dan fungsi kuadrat.

Jika garis g(x) memotong parabola f(x) di dua titik, maka:

$f(x)=g(x)\ \Rightarrow\ f(x)-g(x)=0$

Dengan $f(x)=ax^2+bx+c$ dan $g(x)=mx+n$ :

$\begin{aligned}&ax^2+bx+c-mx-n=0\\&{\Rightarrow\ }ax^2+(b-m)x+c-n=0\\&\quad[A=a\,,\ B=b-m\,,\ C=c-n]\\&{\Rightarrow\ }Ax^2+Bx+C=0\end{aligned}$

Dengan asumsi nilai diskriminan (D) > 0, bentuk akhirnya adalah persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$ yang berbeda.

Kasus kedua: daerah antara dua fungsi kuadrat.

$\begin{aligned}&f(x)=a_1x^2+b_1x+c_1\\&g(x)=a_2x^2+b_2x+c_2\\&\Rightarrow f(x)=g(x)\\&\Rightarrow f(x)-g(x)=0\\&\Rightarrow (a_1-a_2)x^2+(b_1-b_2)x+c_1-c_2=0\\&\quad[A=a_1-a_2\,,\ B=b_1-b_2\,,\ C=c_1-c_2]\\&\Rightarrow Ax^2+Bx+C=0\end{aligned}$

Dengan asumsi nilai diskriminan (D) > 0, bentuk akhirnya sama dengan kasus pertama.

Untuk kedua kasus di atas, operasi-operasi pada akar-akarnya antara lain adalah:

$\begin{aligned}\bullet\ &x_1+x_2=\frac{-B}{A}\\\bullet\ &x_1x_2=\frac{C}{A}\\\bullet\ &x_2-x_1=\frac{\sqrt{D}}{A}\\\bullet\ &{x_2}^2-{x_1}^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)=\frac{-B\sqrt{D}}{A^2}\\\bullet\ &{x_2}^3-{x_1}^3=(x_2-x_1)^3+3{x_2}^2x_1-3x_2{x_1}^2\\&=(x_2-x_1)^3+3x_1x_2(x_2-x_1)\\&=\left(\frac{\sqrt{D}}{A}\right)^3+\frac{3C\sqrt{D}}{A^2}\\&=\frac{D\sqrt{D}}{A^3}+\frac{3C\sqrt{D}}{A^2}\end{aligned}$

LUAS DAERAH:

$\begin{aligned}L&=\left|\int_{x_1}^{x_2}\left(f(x)-g(x)\right)dx\right|\\&=\left|\int_{x_1}^{x_2}\left(Ax^2+Bx+C\right)dx\right|\\&=\left|\left[\frac{A}{3}x^3+\frac{B}{2}x^2+Cx\right]_{x_1}^{x_2}\right|\\&=\left|\ \begin{aligned}&\frac{A}{3}\left({x_2}^3-{x_1}^3\right)\\&+\frac{B}{2}\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)\\&+C(x_2-x_1)\\\end{aligned}\ \right|\end{aligned}$
$\begin{aligned}L&=\left|\ \begin{aligned}&\frac{A}{3}\left(\frac{D\sqrt{D}}{A^3}+\frac{3C\sqrt{D}}{A^2}\right)\\&+\frac{B}{2}\left(\frac{-B\sqrt{D}}{A^2}\right)\\&+C\left(\frac{\sqrt{D}}{A}\right)\end{aligned}\ \right|\\&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{AD}{3A^3}+\frac{3AC}{3A^2}-\frac{B^2}{2A^2}+\frac{C}{A}\right)\right|\\&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{D}{3A^2}+\frac{3AC}{3A^2}-\frac{B^2}{2A^2}+\frac{AC}{A^2}\right)\right|\end{aligned}$
$\begin{aligned}L&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{2D+6AC-3B^2+6AC}{6A^2}\right)\right|\\&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{2D-3B^2+12AC}{6A^2}\right)\right|\\&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{2D-3\left(B^2-4AC\right)}{6A^2}\right)\right|\\&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{2D-3D}{6A^2}\right)\right|\\&=\left|\frac{-D\sqrt{D}}{6A^2}\right|\\\bf L&=\boxed{\ \bf\frac{D\sqrt{D}}{6A^2}\ }\end{aligned}$