1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Mengunakan teorema apit, buktikan bahwa U = (cos 6n²/n²) konvergen,

Berikut ini adalah pertanyaan dari PatrickStar001 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Mengunakan teorema apit, buktikan bahwa U = (cos 6n²/n²) konvergen, tentukan lim xu = ( \frac{cos \: 6 {n}^{2} }{ {n}^{2} } )
​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Berdasarkan teorema apit, terbukti bahwa U=((cos 6n²)/n²) konvergen (ke 0), dengan:
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\:=\:\bf0
 

Pembahasan

Persoalan

Membuktikan kekonvergenan barisan U=((cos 6n²)/n²) dengan teorema apit (teorema squeeze).

Pembuktian

Suku pada barisan U terdefinisi sebagai:
\large\text{$\begin{aligned}U_n&=\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\end{aligned}$}

Kita tahu bahwa \inf\left(\cos\left(6{n}^{2}\right)\right)=-1, dan \sup\left(\cos\left(6{n}^{2}\right)\right)=1, sehingga untuk semua n berlaku:
\large\text{$\begin{aligned}-1 \le \cos\left(6{n}^{2}\right) \le 1\end{aligned}$}

Oleh karena itu:

\large\text{$\begin{aligned}&\frac{-1}{{n}^{2}}\ \le\ \frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\ \le\ \frac{1}{{n}^{2}}\\\Rightarrow\ &\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{{n}^{2}}\ \le\ \lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\ \le\ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{{n}^{2}}\\\Rightarrow\ &\boxed{\ 0\ \le\ \lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\ \le\ 0\ }\end{aligned}$}

Maka, berdasarkan teorema apit untuk barisan, dapat disimpulkan bahwa:
\large\text{$\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\ =\ \bf0\end{aligned}$}

Jadi, terbuktibahwaU=\left ( \dfrac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}} \right ) KONVERGEN.

----------------------------------

Dengan aljabar limit, nilai limitnya pun sama, yaitu 0.

Dengan mengandaikan U_n konvergen, maka:

\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}U_n&=\lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2}\cdot\cos\left(6{n}^{2}\right)\right)\\&=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\right)\cdot\left(\lim_{n\to\infty}\cos\left(6{n}^{2}\right)\right)\\&=0\cdot\left(\lim_{n\to\infty}\cos\left(6{n}^{2}\right)\right)\\\therefore\ \lim_{n\to\infty}U_n&=\boxed{\:\bf0\:}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 07 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>