dy/dx - y/x +y^2/x^2=0

Berikut ini adalah pertanyaan dari whoiam99 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dy/dx - y/x +y^2/x^2=0

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\boxed{\:y=\frac{x}{\ln x+C}\:}$
 

Pembahasan

Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

$\begin{aligned}&\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}=0\\{\Rightarrow\ }&\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\frac{y^2}{x^2}\\{\Rightarrow\ }&dy=\left(\frac{y}{x}-\frac{y^2}{x^2}\right)dx\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\&\quad\textsf{Ambil }u=\frac{y}{x}\\&\quad\Rightarrow y=ux\\&\quad\Rightarrow dy=udx+xdu\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\end{aligned}$
$\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&udx+xdu=\left(u-u^2\right)dx\\{\Rightarrow\ }&\cancel{udx}+xdu=\cancel{udx}-u^2dx\\{\Rightarrow\ }&xdu=-u^2dx\\{\Rightarrow\ }&\frac{1}{u^2}\,du=-\frac{1}{x}\,dx\\{\Rightarrow\ }&\int\frac{1}{u^2}\,du=\int-\frac{1}{x}\,dx\\{\Rightarrow\ }&{-}\frac{1}{u}=-\ln x+C\\{\Rightarrow\ }&\frac{1}{u}=\ln x+C\\{\Rightarrow\ }&\frac{x}{y}=\ln x+C\\{\therefore\ \:}&\boxed{\:y=\frac{x}{\ln x+C}\:}\end{aligned}$