Diketahui LM = 4i + 2j dan LN = -3i

Berikut ini adalah pertanyaan dari samueljhordan26 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui LM = 4i + 2j dan LN = -3i -7 + 2k. Jika LP =1/2 LM. Tentukan vektor NPbantuin dong

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\large\text{$\begin{aligned}\overrightarrow{NP}=5\vec{i}+2\vec{j}-2\vec{k}\end{aligned}$}$
 

Pembahasan

Vektor

Diketahui

Dua buah vektor, masing masing adalah:
$\overrightarrow{LM}=4\vec{i}+2\vec{j}\,,\ \overrightarrow{LN}=-3\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$
LP = ½LM

Ditanyakan

Vektor $\overrightarrow{NP}$

PENYELESAIAN

Jika yang dimaksud dengan LP = ½LMadalahbesar kedua vektor tersebut, maka akan terdapat banyak alternatif koordinat titik $P$ , sehingga ada banyak kemungkinan vektor $\overrightarrow{NP}$ .

Jadi, ASUMSI dalam persoalan ini adalah:

$\overrightarrow{LP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{LM}$

Hal ini berarti titik $P$ terletak pada garis $LM$ , dan membagi $LM$ menjadi 2 bagian sama panjang.

Sehingga:

$\Rightarrow\ \overrightarrow{LP}=\overrightarrow{PM}$

Vektor $\overrightarrow{LM}$ dan $\overrightarrow{LN}$ sama-sama “berpusat” di titik $L$ , sehingga kita dapat menjadikan titik $L$ sebagai titik “acuan relatif“.

Vektor $\overrightarrow{NP}$ merupakanresultandari vektor $\overrightarrow{NL}$ dilanjutkan $\overrightarrow{LP}$ .

Oleh karena itu:

$\begin{aligned}\overrightarrow{NP}&=\overrightarrow{NL}+\overrightarrow{LP}\\&=-\overrightarrow{LN}+\overrightarrow{LP}\\&=-\overrightarrow{LN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{LM}\\&=-\left(-3\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}\right)+\frac{1}{2}\left(4\vec{i}+2\vec{j}\right)\\&=3\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}+2\vec{i}+\vec{j}\\\therefore\ \overrightarrow{NP}&=\boxed{\ 5\vec{i}+2\vec{j}-2\vec{k}\ }\end{aligned}$

Kita juga dapat tetap menggunakan titik $O(0,0,0)$ sebagai pusat acuan, dan mengoperasikan vektor-vektor posisi.

$\begin{aligned}\overrightarrow{NP}&=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{ON}\\&=\overrightarrow{LP}+\overrightarrow{OL}-\left(\overrightarrow{LN}+\overrightarrow{OL}\right)\\&=\overrightarrow{LP}+\cancel{\overrightarrow{OL}}-\overrightarrow{LN}-\cancel{\overrightarrow{OL}}\\&=\overrightarrow{LP}-\overrightarrow{LN}\end{aligned}$

Langkah terakhir tersebut ekuivalen dengan $\overline{NP}=-\overrightarrow{LN}+\overrightarrow{LP}$ (lihat penyelesaian di atas), sehingga akan menghasilkan nilai vektor $\overrightarrow{NP}$ yang persis sama.
$\blacksquare$