Dik. g(x) 2x+5(fog)(x) = 4x² -20x+23Rumus f(x)...?

Berikut ini adalah pertanyaan dari dinda7735 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dik. g(x) 2x+5
(fog)(x) = 4x² -20x+23
Rumus f(x)...?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

f(x) = x² – 20x + 98

Pembahasan

Komposisi dan Invers Fungsi

Diketahui

g(x) = 2x + 5
(fog)(x) = 4x² – 20x + 23

Ditanyakan

f(x) = ...?

Penyelesaian

Cara pertama: dengan invers dari g(x)

Tentukan invers g(x) dulu.

$\begin{aligned}&&g(x)&=2x+5\\&&y&=g(x)=2x+5\\&\Leftrightarrow&2x&=y-5\\&\Leftrightarrow&x&=\frac{y-5}{2}\\&\Leftrightarrow&g(y)&=\frac{y-5}{2}\\\\&\therefore&g^{-1}(x)&=\frac{x-5}{2}\end{aligned}$

Tentukan f(x).

$\begin{aligned}f(x)&=(f\circ g)\big(g^{-1}(x)\big)\\&=4\left(g^{-1}(x)\right)^2-20\left(g^{-1}(x)\right)+23\\&=4\left(\frac{x-5}{2}\right)^2-20\left(\frac{x-5}{2}\right)+23\\&=4\left(\frac{(x-5)^2}{4}\right)-10(x-5)+23\\&=(x-5)^2-10x+50+23\\&=x^2-10x+25-10x+73\\f(x)&=\bf x^2-20x+98\end{aligned}$

Cara kedua: dengan pengolahan aljabar

$\begin{aligned}(f\circ g)(x)&=4x^2-20x+23\\f(2x+5)&=4x^2-20x+23\\&=\left(4x^2+20x+25\right)-40x-2\\&=\left(4x^2+20x+25\right)-40x-100+98\\&=\underbrace{\left(4x^2+20x+25\right)}_{\begin{array}{c}(2x+5)^2\end{array}}-\underbrace{(40x+100)}_{\begin{array}{c}20(2x+5)\end{array}}+98\\f(2x+5)&=(2x+5)^2-20(2x+5)+98\end{aligned}$