f(x) = -x^2 + 3x + 10, dengan x ∈ [-4, 4]

Misalkan f(x) = ax^2 + bx + c

maka, a = -1, b = 3, dan c = 10

===

(a)

Perhatikan bahwa a bernilai negatif, artinya kurva terbuka ke bawah

Selain itu, misalkan D = b^2 - 4ac

maka, D = (3)^2 - 4(-1)(10) = 9 + 40 = 49 > 0

artinya, f(x) memotong sumbu x di dua titik berbeda jika x anggota bilangan riil.

Misalkan f(x) = 0, maka

-x^2 + 3x + 10 = 0

x^2 - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2) = 0

maka, x = 5 atau x = -2

Jadi, kurva melalui titik (5, 0) dan (-2, 0) jika x anggota bilangan riil

Perhatikan bahwa f'(x) = 3 - 2x

Misalkan f'(x) = 0, maka

3 - 2x = 0

x = 3/2

Substitusi 3/2 ke dalam f(x), maka

f(3/2) = 10 + 3(3/2) - (3/2)^2

= 10 + 9/2 - 9/4

= 40/4 + 18/4 - 9/4

= 49/4

Jadi, puncak kurva tersebut berada pada titik (3/2, 49/4)

Untuk menggambar grafiknya, buatlah grafik yang melalui titik (5, 0), (-2, 0), dengan titik puncak (3/2, 49/4). Namun, karena x ∈ [-4, 4], batasi kurva tersebut pada daerah domainnya. Sehingga, dapat dibentuk grafik fungsi yang melalui ketiga titik tersebut seperti yang ada dalam lampiran 1

===

(b)

a disebut pembuat nol fungsi jika f(a) = 0

Misalkan f(x) = 0, maka

-x^2 + 3x + 10 = 0

x^2 - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2) = 0

Didapat x = 5 atau x = -2

Karena x ∈ [-4, 4] dan 5 > 4, maka pembuat nol fungsi tersebut hanyalah -2

===

(c)

Koordinat titik potong dengan sumbu y didapat ketika x = 0

Misalkan x = 0, maka f(0) = 10 + 3(0) - (0)^2 = 10

Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu y adalah (0, 10)

===

(d)

f(x) tidak memiliki sumbu simetri (dengan catatan, perhatikan bahwa x ∈ [-4, 4] )

Bukti:
Persamaan x = c dikatakan sumbu simetri dari f(x) jika f(c + k) = f(c - k) dengan k sebarang bilangan

Perhatikan bahwa

f(c + k) = 10 + 3(c + k) - (c + k)^2

= 10 + 3c + 3k - c^2 - 2ck - k^2

f(c - k) = 10 + 3(c - k) - (c - k)^2

= 10 + 3c - 3k - c^2 + 2ck - k^2

Jika f(c + k) = f(c - k), maka

10 + 3c + 3k - c^2 - 2ck - k^2 = 10 + 3c - 3k - c^2 + 2ck - k^2

3k - 2ck = -3k + 2ck

6k = 4ck

6 = 4c

c = 3/2

Namun, cerminkan f(x) terhadap persamaan x = 3/2 (dengan kata lain, substitusi x dengan 2(3/2) - x). Karena f(x) memiliki domain [-4, 4], maka

Jika x = -4, maka 2(3/2) - x = (3 - (-4)) = 12

Jika x = 4, maka 2(3/2) - x = (3 - 4) = -1

Karena 12 > 4 dan -4 ≤ x ≤ 4, maka x = 3/2 bukanlah sumbu simetri dari f(x)

Catatan: untuk pemahaman yang lebih mudah, suatu persamaan dikatakan sumbu simetri fungsi jika membagi fungsi tersebut ke dalam dua bagian yang sama.

Karena f(x) dibatasi pada [-4, 4], tidak akan dapat kita temukan persamaan yang membagi kurva tersebut ke alam dua bagian yang sama besar.

===

(e)

Berdasarkan (a), titik puncak f(x) berada pada koordinat (3/2, 49/4). Jadi, nilai maksimum f(x) adalah 49/4.

Selain itu, uji nilai f(x) pada x = -4 dan x = 4

Misalkan x = -4, maka f(-4) = 10 + 3(-4) - (-4)^2 = 10 - 12 - 16 = -18

Misalkan x = 4, maka f(4) = 10 + 3(4) - (4)^2 = 10 + 12 - 16 = 6

Jadi, nilai minimum dari f(x) adalah -18

===

(f)

Berdasarkan (a) dan (e), didapat koordinat titik maksimumnya adalah (3/2, 49/4) dan koordinat titik minimumnya adalah (-4, -18)

===

(g)

Berdasarkan (e), nilai maksimum dari f(x) adalah 49/4 dan nilai minimum dari f(x) adalah -18.

Jadi, daerah hasilnya adalah {y | -18 ≤ y ≤ 49/4, y ∈ bilangan riil}