1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan angka satuan dari hasil perhitungan berikut ! [tex]1+7+7^2+7^3+7^4+...+7^{2018}[/tex] A) 3 B) 6 C)

Berikut ini adalah pertanyaan dari framadivadaffa24 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan angka satuan dari hasil perhitungan berikut !1+7+7^2+7^3+7^4+...+7^{2018}

A) 3
B) 6
C) 7
D) 9

(note : jangan lupa cara pengerjaan)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

7

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Misalkan, pada himpunan bilangan bulat terdapat sebuah fungsi "mod" (modulo) dengan definisi:

a mod b = c, dengan c adalah sisa pembagian bilangan bulat a : b.

Maka, x mod 10menghasilkanangka satuan dari bilangan bulat x.

Sehingga, persoalan ini dapat diselesaikan sebagai berikut.

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Angka satuan dari deret }\\&1+7+7^2+7^3+7^4+\dots+7^{2018}\\&{=\:}\left(1+\sum\limits_{n=1}^{2018}7^n\right)\!\!\mod10\\&{=\:}\Big(1+(7\!\!\mod10)+(7^2\!\!\mod10)\\&{\:\vdots}\quad+(7^3\!\!\mod10)+(7^4\!\!\mod10)+\dots\\&{\:\vdots}\quad+(7^{2018}\!\!\mod10)\Big)\!\!\mod10\end{aligned}$}

Kita tidak perlu menghitung jumlah sebenarnya deret geometri tersebut. Yang perlu diperhatikan hanya angka satuannya saja.

Pola angka satuannya dapat dijabarkan seperti berikut ini.

\large\text{$\begin{aligned}&{\quad\bullet\ }(7\!\!\mod10)=\bold{7}\\&{\quad\bullet\ }(7^2\!\!\mod10)=(7\times7)\!\!\mod10=\bf9\\&{\quad\bullet\ }(7^3\!\!\mod10)=(9\times7)\!\!\mod10=\bf3\\&{\quad\bullet\ }(7^4\!\!\mod10)=(3\times7)\!\!\mod10=\bf1\\&{\quad\bullet\ }(7^5\!\!\mod10)=(1\times7)\!\!\mod10=\bf7\\&{\quad\bullet\ }\dots\ (\textsf{dst.})\end{aligned}$}

Terlihat bahwa pola bilangan satuannya berulang setiap pangkatnya bertambah 4. 7¹ memiliki angka satuan sama dengan 7⁵. 7² memiliki angka satuan sama dengan 7⁶. Dst.

Dengan kata lain, jumlah angka satuannya membentuk pola berikut:

(7 + 9 + 3 + 1) + (7 + 9 + 3 + 1) + ...

Oleh karena itu:

\large\text{$\begin{aligned}&\left(1+\sum\limits_{n=1}^{2018}7^n\right)\!\!\mod10\\&\:\vdots\qquad\normalsize\textsf{..... $2018=2016+2=(4\times504)+2$}\\&{=\:}\Big(1+\underbrace{\bold{504}\left[(7+9+3+1)\!\!\mod10\right]}_{n=1\textsf{ hingga }n=2016}\ +\underbrace{\left[(7+9)\!\!\mod10\right]}_{n=2017,\ 2018}\Big)\!\!\mod10\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\:\vdots\qquad\normalsize\textsf{..... $(7+9+3+1)\!\!\mod10=20\!\!\mod10=0$}\\&\:\vdots\qquad\normalsize\textsf{..... $(7+9)\!\!\mod10=16\!\!\mod10=6$}\\&{=\:}(1+(504\times0)+6)\!\!\mod10\\&{=\:}7\!\!\mod10\\&{=\:}\bf7\end{aligned}$}

∴  Dengan demikian, angka satuan dari perhitungan tersebut adalah:

7

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 19 Apr 22
<< Previous Post
Next Post >>