1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Misalkan x,y,z real positif sehingga x+y+z = 1. Nilai maksimum

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Misalkan x,y,z real positif sehingga x+y+z = 1. Nilai maksimum yang mungkin dari x²y+y²z+z²x adalah ...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai maksimum yang mungkin dari x²y + y²z + z²x dengan kendala x + y + z = 1 adalah \displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{9}}}.

PEMBAHASAN

Untuk mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi f(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z) = 0 dapat menggunakan metode Lagrange. dimana :

\triangledown f(x,y,z)=\lambda\triangledown g(x,y,z)

Dengan :

\triangledown f(x,y,z)= turunan berarah fungsi f(x,y,z).

\triangledown g(x,y,z)= turunan berarah fungsi g(x,y,z).

λ = faktor pengali lagrange.

.

DIKETAHUI

x+y+z=1, x,y,z ∈ real positif.

.

DITANYA

Tentukan nilai maksimum dari x²y + y²z + z²x.

.

PENYELESAIAN

f(x,y,z)=x^2y+y^2z+z^2x

\triangledown f(x,y,z)=(2xy+z^2)\vec{i}+(2yz+x^2)\vec{j}+(2xz+y^2)\vec{k}

.

Fungsi kendala :

x+y+z=1

x+y+z-1=0

Maka :

g(x,y,z)=x+y+z-1

\triangledown g(x,y,z)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}

.

Kita selesaikan dengan metode Lagrange.

\triangledown f(x,y,z)=\lambda\triangledown g(x,y,z)

(2xy+z^2)\vec{i}+(2yz+x^2)\vec{j}+(2xz+y^2)\vec{k}=\lambda(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})

.

Dengan menyamakan kedua ruas kita peroleh persamaan persamaan Langrangenya adalah :

2xy+z^2=\lambda~~~...(i)

2yz+x^2=\lambda~~~...(ii)

2xz+y^2=\lambda~~~...(iii)

x+y+z=1~~~...(iv)

.

Pers.(i) - pers.(ii) :

2xy+z^2=\lambda

2yz+x^2=\lambda

------~~-

2xy-2yz+z^2-x^2=0

-2y(z-x)+(z+x)(z-x)=0

(z-x)(-2y+z+x)=0

\displaystyle{z=x~atau~2y=x+z }

.

Pers.(ii) - pers.(iii) :

2yz+x^2=\lambda

2xz+y^2=\lambda

------~~-

2yz-2xz+x^2-y^2=0

-2z(x-y)+(x+y)(x-y)=0

(x-y)(-2z+x+y)=0

\displaystyle{y=x~atau~2z=x+y }

.

Pers.(i) - pers.(iii) :

2xy+z^2=\lambda

2xz+y^2=\lambda

------~~-

2xy-2xz+z^2-y^2=0

-2x(z-y)+(z+y)(z-y)=0

(z-y)(-2x+z+y)=0

z=y~atau~2x=y+z

.

Substitusi solusi yang kita peroleh ke fungsi kendala.

Jika kita pilih z = x, y = x, dan z= y atau x = y = z :

x+y+z=1

x+x+x=1

3x=1

\displaystyle{x=\frac{1}{3}~\to~y=\frac{1}{3}~dan~z=\frac{1}{3}}

.

Jika kita pilih 2y = x + z, 2z = x + y, dan 2x = y + z :

Untuk 2y = x + z :

x+y+z=1

2y+y=1

3y=1

\displaystyle{y=\frac{1}{3}}

.

Untuk 2z = x + y :

x+y+z=1

2z+z=1

3z=1

\displaystyle{z=\frac{1}{3}}

.

Untuk 2x = y + z :

x+y+z=1

x+2x=1

3x=1

\displaystyle{x=\frac{1}{3}}

.

Diperoleh titik ekstrim \displaystyle{(x,y,z)=\left ( \frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right )}.

Maka nilai maksimumnya :

\displaystyle{R_{maks}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2\left ( \frac{1}{3} \right )+\left ( \frac{1}{3} \right )^2\left ( \frac{1}{3} \right )+\left ( \frac{1}{3} \right )^2\left ( \frac{1}{3} \right ) }

\displaystyle{R_{maks}=\frac{1}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27} }

\displaystyle{R_{maks}=\frac{3}{27}}

\displaystyle{R_{maks}=\frac{1}{9}}

.

KESIMPULAN

Nilai maksimum yang mungkin dari x²y + y²z + z²x dengan kendala x + y + z = 1 adalah \displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{9}}}.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Metode Langrange : yomemimo.com/tugas/30141361
  2. Metode Lagrange :
  3. Turunan fungsi 2 variabel : yomemimo.com/tugas/29347975

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Turunan Fungsi Dua Peubah

Kode Kategorisasi: x.x.x

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 04 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>