1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

HITUNGLAH NILAI LIMIT FUNGSI BERIKUT​

Berikut ini adalah pertanyaan dari nazwameitantiranasut pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

HITUNGLAH NILAI LIMIT FUNGSI BERIKUT​
HITUNGLAH NILAI LIMIT FUNGSI BERIKUT​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai limit yang ditanyakan adalah:

\displaystyle\lim_{x\to\infty}\:\frac{\sqrt{9x^4-12{x}^{2}}}{3x^2+5x-2}=\boxed{\,\bf1\,}

 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita akan mencari nilai limit

\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\:\frac{\sqrt{9x^4-12x^2}}{3x^2+5x-2}\end{aligned}

Cara 1: Cara Cepat

Karena bentuk limit tersebut adalah limit untuk x mendekati tak hingga, kita dapat memperhatikan derajat tertinggi dan koefisiennya pada pembilang dan penyebut.

  • Pada pembilang, derajat tertinggi terletak pada suku x^4, yang jika diakarkuadratkan menjadi x^2.
  • Pada penyebut, derajat tertinggi terletak pada x^2.

Jadi, derajat tertinggi pada pembilang dan penyebut adalah sama, yaitu 2.

Rumus cepat untuk bentuk limit seperti ini adalah:

\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\:\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+{\dots}+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^n+b_1x^{n-1}+{\dots}+b_{n-1}x+b_n}=\frac{a_0}{b_0}\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\:\frac{\sqrt{9x^4-12x^2}}{3x^2+5x-2}&=\frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{3}{3}\\\therefore\ \lim_{x\to\infty}\:\frac{\sqrt{9x^4-12{x}^{2}}}{3x^2+5x-2}&=\boxed{\,\bf1\,}\end{aligned}

\blacksquare

Cara 2

Karena bentuk limit tersebut adalah limit untuk x mendekati tak hingga, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan 1/(x^n), di mana n adalah derajat tertinggi suku pada penyebut.

\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\:\frac{\sqrt{9x^4-12x^2}}{3x^2+5x-2}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\left(\frac{\sqrt{9x^4-12x^2}}{3x^2+5x-2}\times\frac{1/x^2}{1/x^2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\frac{\dfrac{1}{x^2}\sqrt{9x^4-12x^2}}{\dfrac{1}{x^2}\left(3x^2+5x-2\right)}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\frac{\dfrac{1}{\sqrt{x^4}}\sqrt{9x^4-12x^2}}{\dfrac{1}{x^2}\left(3x^2+5x-2\right)}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\frac{\sqrt{\dfrac{9x^4-12x^2}{x^4}}}{\ \dfrac{3x^2+5x-2}{x^2}\ }\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\frac{\sqrt{9-\dfrac{12}{x^2}}}{\ 3+\dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x}\ }\\&{=\ }\frac{\sqrt{\lim\limits_{x\to\infty}\:\left(9-\dfrac{12}{x^2}\right)}}{\lim\limits_{x\to\infty}\:\left(3+\dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x}\right)}\\&{=\ }\frac{\sqrt{\lim\limits_{x\to\infty}9-\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{12}{x^2}}}{\lim\limits_{x\to\infty}3+\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{5}{x}-\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2}{x}}\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }\frac{\sqrt{9-0}}{3+0-0}=\frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{3}{3}\\\vphantom{bigg|}&{=\ }\boxed{\,\bf1\,}\end{aligned}

\blacksquare

Cara 3

Cara ini serupa dengan cara 2 di atas. Perbedaannya adalah fungsi rasional yang dicari limitnya kita ubah terlebih dahulu menjadi bentuk akar seluruhnya.

\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\:\frac{\sqrt{9x^4-12x^2}}{3x^2+5x-2}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\:\sqrt{\frac{9x^4-12x^2}{\left(3x^2+5x-2\right)^2}}\\&{=\ }\sqrt{\lim_{x\to\infty}\left(\frac{9x^4-12x^2}{\left(3x^2+5x-2\right)^2}\times\frac{1/x^4}{1/x^4}\right)}\\&{=\ }\sqrt{\lim_{x\to\infty}\left(\frac{9-\dfrac{12}{x^2}}{\left(\dfrac{3x^2+5x-2}{x^2}\right)^2}\right)}\\&{=\ }\sqrt{\lim_{x\to\infty}\left(\frac{9-\dfrac{12}{x^2}}{\left(3+\dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)^2}\right)}\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }\sqrt{\frac{\lim\limits_{x\to\infty}\left(9-\dfrac{12}{x^2}\right)}{\lim\limits_{x\to\infty}\left(3+\dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)^2}}\\&{=\ }\sqrt{\frac{\lim\limits_{x\to\infty}9-\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{12}{x^2}}{\left(\lim\limits_{x\to\infty}\left(3+\dfrac{5}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)\right)^2}}\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }\sqrt{\frac{\lim\limits_{x\to\infty}9-\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{12}{x^2}}{\left(\lim\limits_{x\to\infty}3+\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{5}{x}-\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2}{x^2}\right)^2}}\\&{=\ }\sqrt{\frac{9-0}{\left(3+0-0\right)^2}}=\sqrt{\frac{9}{3^2}}=\sqrt{\frac{9}{9}}=\sqrt{1}\\\vphantom{bigg|}&{=\ }\boxed{\,\bf1\,}\end{aligned}

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 10 Feb 23
<< Previous Post
Next Post >>