1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Suatu topi berbentuk selimut kerucut dibuat dengan menempelkan dua sisi

Berikut ini adalah pertanyaan dari widyatmaleo pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Suatu topi berbentuk selimut kerucut dibuat dengan menempelkan dua sisi lurus dari suatu juring lingkaran dengan sudut \alpha. Tentukan nilai dari \alpha yang memaksimumkan volume topi.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Suatu topi berbentuk selimut kerucut dibuat dengan menempelkan dua sisi lurus dari suatu juring lingkaran dengan sudut α. Nilai dari α yang memaksimumkan volume topi adalah:
\boxed{\ \begin{aligned}\alpha&=\bf\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi\ rad=\bf\left(120\sqrt{6}\right)^{\circ}\\\alpha&\approx\text{\bf293,88}^{\circ}\end{aligned}\ }
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Misalkan R menyatakan jari-jari lingkaran, maka R adalah panjang garis pelukis topi tersebut.

Dengan \alpha menyatakan besar sudut juring lingkaran pembentuk topi, keliling alas topi sama dengan panjang busur juring lingkaran tersebut, yaitu:

\begin{aligned}K_{\sf alas}=\frac{\alpha}{\cancel{2\pi}}\cdot\cancel{2\pi}R=R\alpha\end{aligned}

Misalkan pula r menyatakan jari-jari alas topi, maka:

\begin{aligned}r=\frac{K_{\sf alas}}{2\pi}=\frac{R\alpha}{2\pi}\end{aligned}

Sehingga, tinggi topi dapat dinyatakan oleh t, yaitu:

\begin{aligned}t&=\sqrt{R^2-r^2}\\&=\sqrt{R^2-\left(\frac{R\alpha}{2\pi}\right)^2}\\&=\sqrt{R^2\left(1-\frac{\alpha^2}{4\pi^2}\right)}\\&=\sqrt{\frac{R^2}{4\pi^2}\left(4\pi^2-\alpha^2\right)}\\t&=\frac{R}{2\pi}\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\end{aligned}

Dengan rdant yang telah diperoleh, volume topi adalah:

\begin{aligned}V&=\frac{1}{3}\pi r^2t\\&=\frac{1}{3}\cancel{\pi}\cdot\left(\frac{R\alpha}{2\pi}\right)^2\cdot\frac{R}{2\cancel{\pi}}\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\\&=\frac{R^3\alpha^2}{3\cdot4\pi^2\cdot2}\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\\&=\frac{R^3\alpha^2}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\alpha^2\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\sqrt{\alpha^4\left(4\pi^2-\alpha^2\right)}\\V&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}\\\end{aligned}

Untuk memaksimumkan volume, dengan nilai R tetap, \alpha harus memenuhi:

\begin{aligned}\frac{dV}{d\alpha}&=0\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}0&=\frac{dV}{d\alpha}\\&=\frac{d}{d\alpha}\left[\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}\right]\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{d}{d\alpha}\left[\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}\right]\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}}\cdot\frac{d}{d\alpha}\left(4\pi^2\alpha^4-\alpha^6\right)\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{16\pi^2\alpha^3-6\alpha^5}{2\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}}\end{aligned}
\begin{aligned}&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{8\pi^2\alpha^3-3\alpha^5}{\alpha^2\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{8\pi^2\alpha-3\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}\\0&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{\alpha\left(8\pi^2-3\alpha^2\right)}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}\\\end{aligned}

Menyelesaikan persamaan terakhir:

\begin{aligned}&\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{\alpha\left(8\pi^2-3\alpha^2\right)}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}=0\\&{\Rightarrow\ }\frac{\alpha\left(8\pi^2-3\alpha^2\right)}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}=0\\&\quad\left[\ {\sf Jika\ }\frac{f(x)}{g(x)}=0,{\sf\ maka\ }f(x)=0.\right.\\&{\Rightarrow\ }\alpha\left(8\pi^2-3\alpha^2\right)=0\\&{\Rightarrow\ }\alpha=0\ \lor\ 8\pi^2-3\alpha^2=0\\&{\Rightarrow\ }\alpha=0\ \lor\ \alpha^2=\frac{8\pi^2}{3}\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\alpha=0\ \lor\ \alpha=\pm\sqrt{\frac{8\pi^2}{3}}=\pm\frac{\sqrt{8}\sqrt{3}}{3}\pi\\&{\Rightarrow\ }\alpha=0\ \lor\ \alpha=\pm\frac{\sqrt{24}}{3}\pi=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi\end{aligned}

Nilai \alpha > 0, maka:

\begin{aligned}\alpha&=\bf\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi\ rad=\bf\left(120\sqrt{6}\right)^{\circ}\end{aligned}

Kita cari nilai \sqrt{6}.

\begin{aligned}&\qquad\qquad\!\bf2{,}449{\dots}\\&\overline{\begin{array}{r|l}2\ \,\ \,\ \,\ \,&\bf6\\2\ \,\ \,\ \,\ \,&\underline{4\;}\ -\\44\ \,\ \,\ \,&2\,00\\4\ \,\ \,\ \,&\underline{1\,76\;}\ -\\484\ \,\ \,&\ \ 24\,00\\4\ \,\ \,&\ \ \underline{19\,36\;}\ -\\4889\ \,&\ \ \ \,4\,64\,00\\9\ \,&\ \ \ \,\underline{4\,40\,01}\ -\\4897\tt X&\ \ \ \ \ \,23\,99\\\tt X&\sf dst...\end{array}}\end{aligned}

Jadi:

\begin{aligned}\alpha&\approx\left(120\cdot2{,}449\right)^{\circ}\\&\approx\left(240+48+4{,}8+1{,}08\right)^{\circ}\\&\approx\left(288+5{,}88\right)^{\circ}\\\alpha&\approx\text{\bf293,88}^{\circ}\end{aligned}

KESIMPULAN

Nilai dari α yang memaksimumkan volume topi adalah:
\boxed{\ \begin{aligned}\alpha&=\bf\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi\ rad=\bf\left(120\sqrt{6}\right)^{\circ}\\\alpha&\approx\text{\bf293,88}^{\circ}\end{aligned}\ }

Topi dengan volume maksimum dapat dibuat dengan memotong atau mengeluarkan juring lingkaran dengan besar sudut pusat:
\begin{aligned}&\bf\frac{2\pi}{3}\left(3-\sqrt{6}\right)\ rad\,{\sf\ atau\ }\\&\bf120\left(3-\sqrt{6}\right)^{\circ}\end{aligned}
atau kira-kira sebesar 66,12°.
\blacksquare

Suatu topi berbentuk selimut kerucut dibuat dengan menempelkan dua sisi lurus dari suatu juring lingkaran dengan sudut α. Nilai dari α yang memaksimumkan volume topi adalah:[tex]\boxed{\ \begin{aligned}\alpha&=\bf\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi\ rad=\bf\left(120\sqrt{6}\right)^{\circ}\\\alpha&\approx\text{\bf293,88}^{\circ}\end{aligned}\ }[/tex] Penjelasan dengan langkah-langkah:Misalkan [tex]R[/tex] menyatakan jari-jari lingkaran, maka [tex]R[/tex] adalah panjang garis pelukis topi tersebut.Dengan [tex]\alpha[/tex] menyatakan besar sudut juring lingkaran pembentuk topi, keliling alas topi sama dengan panjang busur juring lingkaran tersebut, yaitu:[tex]\begin{aligned}K_{\sf alas}=\frac{\alpha}{\cancel{2\pi}}\cdot\cancel{2\pi}R=R\alpha\end{aligned}[/tex]Misalkan pula [tex]r[/tex] menyatakan jari-jari alas topi, maka:[tex]\begin{aligned}r=\frac{K_{\sf alas}}{2\pi}=\frac{R\alpha}{2\pi}\end{aligned}[/tex]Sehingga, tinggi topi dapat dinyatakan oleh [tex]t[/tex], yaitu:[tex]\begin{aligned}t&=\sqrt{R^2-r^2}\\&=\sqrt{R^2-\left(\frac{R\alpha}{2\pi}\right)^2}\\&=\sqrt{R^2\left(1-\frac{\alpha^2}{4\pi^2}\right)}\\&=\sqrt{\frac{R^2}{4\pi^2}\left(4\pi^2-\alpha^2\right)}\\t&=\frac{R}{2\pi}\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\end{aligned}[/tex]Dengan [tex]r[/tex] dan [tex]t[/tex] yang telah diperoleh, volume topi adalah:[tex]\begin{aligned}V&=\frac{1}{3}\pi r^2t\\&=\frac{1}{3}\cancel{\pi}\cdot\left(\frac{R\alpha}{2\pi}\right)^2\cdot\frac{R}{2\cancel{\pi}}\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\\&=\frac{R^3\alpha^2}{3\cdot4\pi^2\cdot2}\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\\&=\frac{R^3\alpha^2}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\alpha^2\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\sqrt{\alpha^4\left(4\pi^2-\alpha^2\right)}\\V&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}\\\end{aligned}[/tex]Untuk memaksimumkan volume, dengan nilai [tex]R[/tex] tetap, [tex]\alpha[/tex] harus memenuhi:[tex]\begin{aligned}\frac{dV}{d\alpha}&=0\end{aligned}[/tex]Maka:[tex]\begin{aligned}0&=\frac{dV}{d\alpha}\\&=\frac{d}{d\alpha}\left[\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}\right]\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{d}{d\alpha}\left[\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}\right]\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}}\cdot\frac{d}{d\alpha}\left(4\pi^2\alpha^4-\alpha^6\right)\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{16\pi^2\alpha^3-6\alpha^5}{2\sqrt{4\pi^2\alpha^4-\alpha^6}}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{8\pi^2\alpha^3-3\alpha^5}{\alpha^2\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}\\&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{8\pi^2\alpha-3\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}\\0&=\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{\alpha\left(8\pi^2-3\alpha^2\right)}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}\\\end{aligned}[/tex]Menyelesaikan persamaan terakhir:[tex]\begin{aligned}&\left(\frac{R^3}{24\pi^2}\right)\cdot\frac{\alpha\left(8\pi^2-3\alpha^2\right)}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}=0\\&{\Rightarrow\ }\frac{\alpha\left(8\pi^2-3\alpha^2\right)}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}=0\\&\quad\left[\ {\sf Jika\ }\frac{f(x)}{g(x)}=0,{\sf\ maka\ }f(x)=0.\right.\\&{\Rightarrow\ }\alpha\left(8\pi^2-3\alpha^2\right)=0\\&{\Rightarrow\ }\alpha=0\ \lor\ 8\pi^2-3\alpha^2=0\\&{\Rightarrow\ }\alpha=0\ \lor\ \alpha^2=\frac{8\pi^2}{3}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\alpha=0\ \lor\ \alpha=\pm\sqrt{\frac{8\pi^2}{3}}=\pm\frac{\sqrt{8}\sqrt{3}}{3}\pi\\&{\Rightarrow\ }\alpha=0\ \lor\ \alpha=\pm\frac{\sqrt{24}}{3}\pi=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi\end{aligned}[/tex]Nilai [tex]\alpha > 0[/tex], maka:[tex]\begin{aligned}\alpha&=\bf\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi\ rad=\bf\left(120\sqrt{6}\right)^{\circ}\end{aligned}[/tex]Kita cari nilai [tex]\sqrt{6}[/tex].[tex]\begin{aligned}&\qquad\qquad\!\bf2{,}449{\dots}\\&\overline{\begin{array}{r|l}2\ \,\ \,\ \,\ \,&\bf6\\2\ \,\ \,\ \,\ \,&\underline{4\;}\ -\\44\ \,\ \,\ \,&2\,00\\4\ \,\ \,\ \,&\underline{1\,76\;}\ -\\484\ \,\ \,&\ \ 24\,00\\4\ \,\ \,&\ \ \underline{19\,36\;}\ -\\4889\ \,&\ \ \ \,4\,64\,00\\9\ \,&\ \ \ \,\underline{4\,40\,01}\ -\\4897\tt X&\ \ \ \ \ \,23\,99\\\tt X&\sf dst...\end{array}}\end{aligned}[/tex]Jadi:[tex]\begin{aligned}\alpha&\approx\left(120\cdot2{,}449\right)^{\circ}\\&\approx\left(240+48+4{,}8+1{,}08\right)^{\circ}\\&\approx\left(288+5{,}88\right)^{\circ}\\\alpha&\approx\text{\bf293,88}^{\circ}\end{aligned}[/tex]KESIMPULANNilai dari α yang memaksimumkan volume topi adalah:[tex]\boxed{\ \begin{aligned}\alpha&=\bf\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi\ rad=\bf\left(120\sqrt{6}\right)^{\circ}\\\alpha&\approx\text{\bf293,88}^{\circ}\end{aligned}\ }[/tex]Topi dengan volume maksimum dapat dibuat dengan memotong atau mengeluarkan juring lingkaran dengan besar sudut pusat:[tex]\begin{aligned}&\bf\frac{2\pi}{3}\left(3-\sqrt{6}\right)\ rad\,{\sf\ atau\ }\\&\bf120\left(3-\sqrt{6}\right)^{\circ}\end{aligned}[/tex]atau kira-kira sebesar 66,12°.[tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 16 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>