Diketahui persamaan diferensial non eksak (6 y^2+ 4xy^3) dx + (6xy

Berikut ini adalah pertanyaan dari feisa21 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui persamaan diferensial non eksak (6 y^2+ 4xy^3) dx + (6xy + 4 x^2 y^2) dy = 0. Tentukanlah faktor Integral dan penyelesaian diferensialnya!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Faktor integrasinya adalah x. Solusi dari PD tersebut adalah $3xy^2+\frac{4x^2y^3}{3}=C$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui:

Persamaan diferensial non eksak $(6 y^2+ 4xy^3) dx + (6xy + 4 x^2 y^2) dy = 0$

Ditanya:

Faktor integrasi dan solusinya!

Pembahasan:

Kita cari terlebih dahulu faktor integrasinya

Misalkan

$M=6 y^2+ 4xy^3\\N=6xy + 4 x^2 y^2$

$g(x)=\frac{\frac{\partial M}{y} -\frac{\partial N}{x} }{N}\\ g(x)=\frac{12y+12xy^2-(6y+8xy^2)}{6xy + 4 x^2 y^2} \\g(x)=\frac{6y+4xy^2}{6xy+4x^2y^2}\\ g(x)=\frac{6y+4xy^2}{x(6y+4xy^2)}\\g(x)=\frac{1}{x}$

Sehingga faktor integrasinya adalah:

$\mu=e^{\int g(x) dx}=e^{\int \frac{1}{x} dx}=x$

Maka PD dapat diubah menjadi eksak

$x (6 y^2+ 4xy^3) dx+x(6xy + 4 x^2 y^2) dy =0\\(6xy^2+4x^2y^3)dx+(6x^2y+4x^3y^2)dy=0$

$u=\int (6xy^2+4x^2y^3) dx + k(y)\\u=3x^2y^2+\frac{4x^3y^3}{3} +k(y)$

$\frac{\partial u}{\partial y} =6x^2y+4x^3y^2+\frac{dk}{dy} =N\\6x^2y+4x^3y^2+\frac{dk}{dy} =6xy + 4 x^2 y^2\\\frac{dk}{dy}=6xy + 4 x^2 y^2-6x^2y-4x^3y^2\\k(y)=3xy^2+\frac{4x^2y^3}{3}-3x^2y^2 -\frac{4x^3y^3}{3}$