otak saya ngelag nyari ini, ada yg bisa bantu?

Berikut ini adalah pertanyaan dari honeylemon4661 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Otak saya ngelag nyari ini, ada yg bisa bantu?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Kurva dengan persamaan $xy=1$ dirotasikan terhadap pusat $P(2, 6)$ sebesar $135^{\circ}$ searah jarum jam persamaannya

$\big(-x+y-4+2\sqrt2\big)\big(-x-y+8+6\sqrt2\big)=2$

Penyelesaian

pertama kita gunakan matriks transformasi rotasi

untuk rotasi terpusat pada $(0, 0)$ matriksnya

$\begin{pmatrix}x' \\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}$

untuk rotasi dengan pusat $(a,b)$ matriksnya

$\begin{pmatrix}x' -a\\y' -b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x -a\\y -b \end{pmatrix}$

atau

$\begin{pmatrix}x' \\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x -a\\y -b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}$

diketahui pusatnya $P=(2,6)$ dan perputaran rotasinya $135^{\circ}$ searah jarum jam.
Karena searah jarum jam maka sudutnya negatif sehingga

$\begin{pmatrix}x' \\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{(-135^{\circ})} & -\sin{(-135^{\circ})} \\\sin{(-135^{\circ})} & \cos{(-135^{\circ})} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x -2\\y -6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\6 \end{pmatrix}$

kemudian kita cari nilai $\cos(-135^{\circ})$ dan $\sin(-135^{\circ})$ untuk menyederhanakan matriks tersebut

$\cos(-135^{\circ})=\cos(360-135)^{\circ}$

$=\cos225^{\circ}$

$=\cos(180^{\circ}+45^{\circ})$

$=-\cos45^{\circ}$

$\Rightarrow -\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\sin(-135^{\circ})=-\sin135^{\circ}$

$=-\sin(180^{\circ}-45^{\circ})$

$=-\sin45^{\circ}$

$\Rightarrow -\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

sederhanakan matriksnya

$\Rightarrow \begin{pmatrix}x' \\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} & \displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} & -\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x -2\\y -6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\6 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix}x' \\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(x-2)+\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(y-6) \\-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(x-2)-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(y-6) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\6 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix}x' \\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(x-2)+\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(y-6) +2\\-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(x-2)-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}(y-6) +6\end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix}x' \\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}x+\sqrt2+\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}y-3\sqrt2 +2\\-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}x+\sqrt2-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}y+3\sqrt2 +6\end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix}x' \\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}x+\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}y-2\sqrt2 +2\\-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}x-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}y+4\sqrt2 +6\end{pmatrix}$

sehingga transformansinya

ubah $x$ menjadi $-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}x+\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}y-2\sqrt2 +2$

ubah $y$ menjadi $-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}x-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}y+4\sqrt2 +6$

untuk kurva $xy=1$ yang dirotasikan terhadap pusat $P(2,6)$ sebesar $135^{\circ}$ SJJ, persamaan kurvanya

$\bigg(-\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}x+\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}y-2\sqrt2+2\bigg)\bigg(-\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}x-\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}y+4\sqrt2+6\bigg)=1$

$\Rightarrow\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}\bigg(-x+y-4+2\sqrt2\bigg)\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}\bigg(-x-y+8+6\sqrt2\bigg)=1$

$\Rightarrow\displaystyle{\frac{2}{4}}\big(-x+y-4+2\sqrt2\big)\big(-x-y+8+6\sqrt2\big)=1$

$\Rightarrow\displaystyle{\frac{1}{2}}\big(-x+y-4+2\sqrt2\big)\big(-x-y+8+6\sqrt2\big)=1$

atau

$\Rightarrow\big(-x+y-4+2\sqrt2\big)\big(-x-y+8+6\sqrt2\big)=2$

nb : jika rotasinya $135^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam, maka kurvanya

$\bigg(\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}x-\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}y+2\sqrt2+6\bigg)\bigg(-\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}x-\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}y+4\sqrt2+2\bigg)=1$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh tsraka dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 09 Jun 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

otak saya ngelag nyari ini, ada yg bisa bantu?​

Jawaban dan Penjelasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika

otak saya ngelag nyari ini, ada yg bisa bantu?