TENTUKAN LUAS DAERAH DARI FOTO TERSEBUT !!!!

Berikut ini adalah pertanyaan dari bellaletixiaevelyn pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Luas daerah yang diarsiradalah157/6 satuan luas atau mendekati 26,1667 satuan luas.
Hasil tersebut diperoleh dengan menjumlahkan luas dua daerah yang terbentuk dari batas-batas integral sesuai gambar.
 

Pembahasan

Integral: Luas Daerah

Daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-y ( $x = 0$ ), kurva $y=x^2$ , garis $y=x+6$ , dan garis $x=5$ .

Kita tentukan absis titik potong kurva $y=x^2$ dan garis $y=x+6$ pada arah sumbu-x positif.

$\begin{aligned}&x^2=x+6\\&\Rightarrow x^2-x-6=0\\&\Rightarrow (x+2)(x-3)=0\\&\Rightarrow x=-2, x=\bf3\end{aligned}$
⇒ Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=3$ .

Luas daerah yang diarsir adalah jumlah dari luas dua daerah, di mana

daerah pertama adalah daerah $x+6 > x^2$ pada interval $0 \le x \le 3$ , dan
daerah kedua adalah daerah $x^2 > x + 6$ pada interval $3 \le x \le 5$ .

$\begin{aligned}\bf L&=L_1+L_2\\&=\int_{0}^{3}\left(x+6-x^2\right)dx+\int_{3}^{5}\left(x^2-(x+6)\right)dx\\&=\int_{0}^{3}\left(x+6-x^2\right)dx+\int_{3}^{5}-\left(x+6-x^2\right)dx\\&=\int_{0}^{3}\left(x+6-x^2\right)dx-\int_{3}^{5}\left(x+6-x^2\right)dx\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&\textstyle\int\left(x+6-x^2\right)dx\\&=\frac{x^2}{2}+6x-\frac{x^3}{3}\\&=\frac{1}{6}\left(3x^2+36x-2x^3\right)+C\end{aligned}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\bf L&=\frac{1}{6}\left(\left(3x^2+36x-2x^3\right)\Big|_{0}^{3}-\left(3x^2+36x-2x^3\right)\Big|_{3}^{5}\right)\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&x=0\\&\Rightarrow 3x^2+36x-2x^3=0\\&x=3\\&\Rightarrow 3x^2+36x-2x^3=27+108-54=81\\&x=5\\&\Rightarrow 3x^2+36x-2x^3=75+180-250=5\\\end{aligned}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\bf L&=\frac{1}{6}\big(81-0-(5-81)\big)\\&=\frac{1}{6}\big(81+81-5\big)\\&=\frac{1}{6}\big(157\big)\\\bf L&=\boxed{\,\bf\frac{157}{6}\ satuan\ luas\,}\\\bf L&\approx\boxed{\,\bf26{,}1667\ satuan\ luas\,}\\\end{aligned}$