1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tolong banget dijawab pentiiiing himpunan penyelesaian ⅓ √3cos 2x + ⅓ sin

Berikut ini adalah pertanyaan dari fatimaabbaci2 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong banget dijawab pentiiiinghimpunan penyelesaian

⅓ √3cos 2x + ⅓ sin 2x = 3 untuk 0 ≤ x ≤ 360.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Himpunan penyelesaian dari ⅓√3 cos 2x + ⅓ sin 2x = 3 untuk 0° ≤ x ≤ 360°adalahhimpunan kosong, atau { }, atau ∅.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pertama-tama, kita perhatikan ruas kiri.

y=\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\cos2x+\dfrac{1}{3}\sin2x

Turunan pertamanya adalah:

\begin{aligned}y'&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\sqrt{3}\cos2x+\frac{1}{3}\sin2x\right)\\&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\sqrt{3}\cos2x\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}\sin2x\right)\\&=-\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin2x+\frac{2}{3}\cos2x\\&=\frac{2}{3}\cos2x-\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin2x\end{aligned}

Nilai maksimum/minimum terjadi ketika y'=0.

\begin{aligned}&\frac{2}{3}\cos2x-\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin2x=0\\&\Rightarrow \frac{2}{3}\cos2x=\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin2x\\&\Rightarrow \cos2x=\sqrt{3}\sin2x\\&\Rightarrow \frac{\sin2x}{\cos2x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\&\Rightarrow \tan2x=\frac{1}{\sqrt{3}}\\&\Rightarrow 2x=30^{\circ}+180^{\circ}\cdot n\,,\ n\in\mathbb{Z}\end{aligned}

Substitusikan 2x ke dalam fungsi trigonometri.

\begin{aligned}y&=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cos\left(30^{\circ}+180^{\circ}\cdot n\right)+\frac{1}{3}\sin\left(30^{\circ}+180^{\circ}\cdot n\right)\\&=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\left(\pm\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)+\frac{1}{3}\cdot\left(\pm\frac{1}{2}\right)\\&=\pm\frac{3}{6}\:+\:\left(\pm\frac{1}{6}\right)\ =\ \pm\frac{4}{6}\\y&=\pm\frac{2}{3}\end{aligned}

Jadi, nilai maksimum dan minimum dari
\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\cos2x+\dfrac{1}{3}\sin2x
berturut-turut adalah 2/3dan–2/3, yang jelas kurang dari nilai ruas kanan persamaan yang diketahui, yaitu 3.

Oleh karena itu, jika x \in \mathbb{R}, untuk rentang nilai x berapapun, tidak ada solusi yang dapat ditemukan.

Rentang nilai 0° ≤ x ≤ 360°  \subset\ x \in \mathbb{R}.
Kesimpulannya, tidak ada solusi.
_______________

Penelusuran dengan penyederhanaan fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.

\begin{aligned}&\frac{1}{3}\sqrt{3}\cos2x+\frac{1}{3}\sin2x=3\\&{\Rightarrow\ }\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}\cos2x+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin2x=3\\&{\Rightarrow\ }\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\cos2x+\frac{1}{2}\sin2x\right)=3\\&{\Rightarrow\ }\frac{2}{3}\left(\cos30^{\circ}\cos2x+\sin30^{\circ}\sin2x\right)=3\\&{\Rightarrow\ }\frac{2}{3}\cos\left(30^{\circ}-2x\right)=3\\&{\Rightarrow\ }\cos\left(30^{\circ}-2x\right)=3\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\ > \ 1\\\end{aligned}

Kita tahu bahwa -1 \le \cos\alpha \le 1. Maka, tidak ada solusiuntukx \in \mathbb{R}, terlebih dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°.
_______________

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari ⅓√3 cos 2x + ⅓ sin 2x = 3 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah himpunan kosong, atau { }, atau ∅.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 14 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>