Dalam segitiga lancip ABC, sin C = 2/√5Jika tan A.tan

Berikut ini adalah pertanyaan dari faraaira0 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dalam segitiga lancip ABC, sin C = 2/√5Jika tan A.tan B = 5
Maka nilai tan A + tan B =

A. -4
B. -2
C. 8/5
D. 2
E. 4

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Dalam segitiga lancip ABC, sin C = 2/√5. Jika tan A·tan B = 5, maka nilai tan A + tan B = 8.
(tidak ada pada opsi jawaban)
 

Pembahasan

Trigonometri

Karena jumlah besar sudut $A$ , $B$ , dan $C$ pada $\triangle ABC$ adalah 180°, maka

$\begin{aligned}\sin(A+B) &= \sin\left(180^{\circ}-C\right)\\\Rightarrow\ \sin(A+B) &=\sin C\end{aligned}$

Oleh karena itu,

$\begin{aligned}\cos^2(A+B)&=1-\sin^2(A+B)\\\Rightarrow\ \cos(A+B)&=\pm \sqrt{1-\sin^2(A+B)}\\&=\pm \sqrt{1-\sin^2C}\\&=\pm \sqrt{1-\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}\\&=\pm\sqrt{1-\frac{4}{5}}\\&=\pm\sqrt{\frac{1}{5}}\\\Rightarrow\ \cos(A+B)&=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\end{aligned}$

$\triangle ABC$ adalahsegitiga lancip, maka sudut $A$ , $B$ , dan $C$ masing-masing adalahsudut lancip. Namun, perlu diperhatikan bahwa jumlah besar sudut $A$ dan sudut $B$ pasti lebih dari 90° dan kurang dari 180°. Oleh karena itu, sudut $(A+B)$ adalahsudut tumpul, yang nilai cosinusnya negatif, sehingga:

$\begin{aligned}\Rightarrow \cos(A+B)&=-\frac{1}{\sqrt{5}}\end{aligned}$

Hal ini berarti:

$\begin{aligned}\tan(A+B)&=\frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)}\\&=\frac{2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}}\\\Rightarrow\ \tan(A+B)&=-2\end{aligned}$

Dari identitas trigonometri:
tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B),
dapat kita peroleh:

$\begin{aligned}\tan(A+B)&=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\\\Rightarrow\ \tan A+\tan B&=\tan(A+B)\left(1-\tan A\tan B\right)\\&=-2\cdot\left(1-5\right)\\&=-2\cdot\left(-4\right)\\\therefore\ \tan A+\tan B&=\boxed{\,\bf8\,}\end{aligned}$

_________________________

Hasil tersebut tidak terdapat pada opsi jawaban. Maka, ada baiknya kita tentukan dengan cara lain, dan bandingkan hasilnya.

sin C = 2/√5, maka dari hasil $\cos (A+B)$ di atas, dapat ditentukan bahwa cos C = 1/√5. Ingat bahwa sudut $C$ adalah sudut lancip, sehingga nilai cosinusnya positif.

Kemudian,
tan C = sin C / cos C = 2
⇒ tan (180° – (A+B)) = 2

tan (180° – α) = –tan α, oleh karena itu:
⇒ –tan (A+B) = 2
⇒ tan (A+B) = –2

Akhirnya, ketika kita menggunakan identitas identitas trigonometri:
tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
untuk menghitung nilai tan A + tan B, kita akan memperoleh hasil yang sama dengan perhitungan di atas.

_________________________