1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

tolong bantuannya kakak 16 sama 19​

Berikut ini adalah pertanyaan dari bread35 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong bantuannya kakak 16 sama 19​
tolong bantuannya kakak 16 sama 19​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

16. \vec{a}\times\vec{b}=30\vec{i}+18\vec{j}-15\vec{k}

17. Nilai sinus sudut antara vektor \vec{a}dan\vec{b}adalah\bf\frac{5}{14}\sqrt{3}.
 

______________

Pendahuluan

Perkalian silang (cross product)antara vektor\vec{a}=a_1{\hat i}+a_2{\hat j}+a_3{\hat k}dan\vec{b}=b_1{\hat i}+b_2{\hat j}+b_3{\hat k} dinyatakan oleh:

\begin{aligned}\vec{a}\times\vec{b}&=\begin{vmatrix}\hat i & \hat j & \hat k\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix}\hat i-\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix}\hat j+\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}\hat k\\&=(a_2b_3-a_3b_2)\hat i-(a_1b_3-a_3b_1)\hat j+(a_1b_2-a_2b_1)\hat k\end{aligned}

Jika \thetaadalah besar sudut yang terbentuk antara vektor\vec{a}dan\vec{b}, maka nilai sinusnya dinyatakan oleh:

\begin{aligned}\sin\theta=\frac{\big|\,\vec{a}\times\vec{b}\:\big|}{\big|\vec{a}\big|\cdot\big|\vec{b}\big|}\end{aligned}

______________

Pembahasan

Nomor 16

Diketahui: \vec{a}=3\vec{i}+6\vec{k}dan\vec{b}=3\vec{i}-5\vec{j}

Ditanyakan: \vec{a}\times\vec{b}

PENYELESAIAN

\begin{aligned}\vec{a}\times\vec{b}&=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 3 & 0 & 6\\ 3 & -5 & 0\end{vmatrix}\\&=(0\cdot0-6\cdot(-5))\vec{i}-(3\cdot0-6\cdot3)\vec{j}+(3\cdot(-5)-0\cdot3)\vec{k}\\&=30\vec{i}-(-18)\vec{j}+(-15)\vec{k}\\\therefore\ \vec{a}\times\vec{b}&=\boxed{\ 30\vec{i}+18\vec{j}-15\vec{k}\ }\\\end{aligned}
\blacksquare
..............................

Nomor 17

Diketahui: \vec{a}=3\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}dan\vec{b}=\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k}

Ditanyakan: nilai sinus sudut antara \vec{a}dan\vec{b}

PENYELESAIAN

\begin{aligned}\sin\theta=\frac{\big|\,\vec{a}\times\vec{b}\:\big|}{\big|\vec{a}\big|\cdot\big|\vec{b}\big|}\end{aligned}

Agar tidak membingungkan, perhitungan kita lakukan satu per satu.

Pertama, menentukan cross productnya.

\begin{aligned}\vec{a}\times\vec{b}&=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 3 & -2 & 1\\ 1 & -3 & 2\end{vmatrix}\\&=(-2\cdot2-1\cdot(-3))\vec{i}-(3\cdot2-1\cdot1)\vec{j}+(3\cdot(-3)-(-2)\cdot1)\vec{k}\\&=(-1)\vec{i}-5\vec{j}+(-7)\vec{k}\\\therefore\ \vec{a}\times\vec{b}&=-\vec{i}-5\vec{j}-7\vec{k}\end{aligned}

Kedua, tentukan besarnya.

\begin{aligned}\big|\vec{a}\times\vec{b}\big|&=\sqrt{{(-1)}^2+{(-5)}^2+{(-7)}^2}\\&=\sqrt{1+25+49}\\&=\sqrt{75}\ =\ \sqrt{5^2\cdot3}\\\therefore\ \big|\vec{a}\times\vec{b}\big|&=5\sqrt{3}\end{aligned}

Untuk besar \vec{a}dan\vec{b}, kita perhatikan nilai/besar skalar dari vektor-vektor satuan pembentuknya.

  • Pada \vec{a}, nilainya adalah 3, –2, dan 1.
  • Pada \vec{b}, nilainya adalah 1, –3, dan 2.

3² = (–3)² = 9, 2² = (–2)² = 4, dan 1² = 1² = 1.
Oleh karena itu, kedua vektor ini sama besar.

\begin{aligned}\big|\vec{a}\big|=\big|\vec{b}\big|&=\sqrt{9+4+1}\\&=\sqrt{14}\\\Rightarrow\,\big|\vec{a}\big|\cdot\big|\vec{b}\big|&=\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}\\\therefore\ \big|\vec{a}\big|\cdot\big|\vec{b}\big|&=14\end{aligned}

Nilai sinus sudut antara kedua vektor tersebut adalah:

\begin{aligned}\sin\theta&=\frac{\big|\,\vec{a}\times\vec{b}\:\big|}{\big|\vec{a}\big|\cdot\big|\vec{b}\big|}\ =\ \frac{5\sqrt{3}}{14}\\\therefore\ \sin\theta&=\boxed{\ \bf\frac{5}{14}\sqrt{3}\ }\end{aligned}
\blacksquare

______________

Pelajari Lebih Lanjut

______________

Detail Jawaban

Mata Pelajaran: Matematika (Peminatan)
Kelas: 10
Materi: Vektor
Kode Kategorisasi: 10.2.6
Kata Kunci: vektor

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 03 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>