1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis (extra susah): [tex]\displaystyle\int _{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=[/tex] [A.] φ [B.] √φ [C.] π [D.] √π [E.]

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis (extra susah):\displaystyle\int _{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=

[A.] φ
[B.] √φ
[C.] π
[D.] √π
[E.] √e

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\large\text{$\begin{aligned}&\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\boxed{\,\sqrt{\pi}\,}\end{aligned}$}
(opsi D)
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa f(x)=e^{-x^2}adalahfungsi genap, karena f(-x)=f(x).

Maka:

\begin{aligned}I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx.\end{aligned}

Ambil

\begin{aligned}J=\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx\end{aligned}

sehingga I=2J.

Terhadap y, J dapat pula dinyatakan oleh:

\begin{aligned}J=\int_{0}^{\infty}e^{-y^2}dy\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}J^2&=J\int_{0}^{\infty}e^{-y^2}dy\\&=\int_{0}^{\infty}Je^{-y^2}dy\\&=\int_{0}^{\infty}\left(\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)e^{-y^2}dy\\&=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}e^{-y^2}\,dxdy\\&=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,dxdy\\\end{aligned}

Kita tahu bahwa x^2+y^2=r^2adalahpersamaan lingkaranyang berpusat diO(0,0)dengan jari-jarir. Kita akan menggunakan sistem koordinat polar.

Anggap daerah integral ganda tersebut berada pada kuadran I. Dalam sistem koordinat polar, kuadran I dapat dinyatakan oleh:

\left \{ (r,\theta):r \ge 0,\ 0 \le \theta \le \pi/2\right \}.

Kita tahu bahwa dalam sistem koordinat persegi, diferensial luas daerah dinyatakan dengan dA = dxdy.
Pada sistem koordinat polar, dinyatakan dengan dA=r\,dr\,d\theta.

Maka, dengan x^2+y^2=r^2, dxdy=r\,dr\,d\theta, dan 0 \le \theta \le \pi/2:

\begin{aligned}J^2&=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-\left(x^2+y^2\right)}dxdy\\&=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta\\&=\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}\,r\,dr\cdot\int_{0}^{\pi/2}d\theta\\&=\left(\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}\,r\,dr\right)\cdot\frac{\pi}{2}\end{aligned}

.\quad\begin{aligned}&{\sf Ambil\ }u=-r^2.\\&\Rightarrow du=-2r\,dr\\&\Rightarrow r\,dr=-\frac{1}{2}\,du\end{aligned}

\begin{aligned}J^2&=\left(\int_{r=0}^{r=\infty}e^u\left(-\frac{1}{2}\,du\right)\right)\cdot\frac{\pi}{2}\\\vphantom{\Bigg|}&=-\frac{\pi}{4}\int_{r=0}^{r=\infty}e^u\,du\\\vphantom{\bigg|}&=\left.-\frac{\pi}{4}e^u\,\right|_{r=0}^{r=\infty}\\\vphantom{\bigg|}&=\left.-\frac{\pi}{4}e^{-r^2}\,\right|_{0}^{\infty}\\&=-\frac{\pi}{4}\left(0-1\right)\\J^2&=\frac{\pi}{4}\implies J=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\end{aligned}

Sehingga nilai yang kita cari adalah:

I=2J=\sqrt{\pi}.

KESIMPULAN

\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\boxed{\,\sqrt{\pi}\,}\end{aligned}$}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 09 Feb 23
<< Previous Post
Next Post >>